Jordansche Normalform

gegeben: Matrix A

gesucht: JNF=X^-1*A*X

Berechnung

1. Eigenwerte x_i mit Vielfachheiten r_i über charakteristisches Polynom bestimmen.

   Der Ansatz det(A-z*E)=0 liefert c_A=(z-z₁)^{^r1*......*(z-z_n)^rn.}

2. Eigenraum Eig(A,z_i) zu Eigenwert z_i bestimmen.

   Eig(A,z_i):=Ker(A-z_i) da der Eigenraum die Menge aller Vektoren v mit A*v=z_i*v ist.

3. Falls die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert z_i kleiner ist, als die Vielfachheit r_i des Eigenwertes (dim(Eig(A,z_i)<r_i), dann muß man die Urbilder der EIgenvektoren mit folgender Gleichung bestimmen:

   (A-z_i*E)*v_Urbild=v_Eigenvektor

   Das wiederholt man solange, bis kein Urbild mehr existiert (da der Operator von einem gewissen Grade nilpotent ist, ist dies irgendwann der Fall; durch die Bestimmung der Urbilder wird die nilpotente Abbildung "rüwärts" durchlaufen) und die Anzahl der Eigenvektoren plus die Anzahl der erhaltenen Urbilder mit der Vielfachheit des Eigenwertes übereinstimmt.

4. Falls noch immer nicht genügend Vektoren beisammen sind, muß man eventuell mit dem nächsten Eigenvektor zum selben Eigenwert analog verfahren.

5. Die Schritte zwei bis fünf wiederholt man mit allen Eigenwerten.

6. Die Überführungsmatrix X erhält ergibt sich durch Zusammenführung der gewonnenen Vektoren (in der Reihenfolge, in der sie berechnet wurden) als Spalten in einer Matrix, d.h. zuerst den ersten Eigenvektor zum ersten Eigenwert, dann nacheinander dessen Urbilder (ergibt zusammen das erste Jordankästchen), dann den zweiten Eigenvektor zum ersten Eigenwert usw. bis zum ersten Eigenvektor des letzten Eigenwertes, wieder dessen Urbilder usw. bis zum letzten Eigenvektor des letzten Eigenwertes und dessen Urbilder.

   Ein Jordankästchen besteht aus einem Eigenvektor und dessen Urbilder. Die so erhaltenen Vektoren (mit den Eigenvektoren) bilden den sogenannten verallgemeinerten Eigenraum.

7. Durch Invertieren der Matrix X erhält man: JNF=X^{^-1}*A*X

Hier gibt es (wie so oft) das mehr oder weniger rettendes Beispiel....

Bemerkung: Der Begriff "Urbild" wird in obiger Beschreibung nicht immer so benutzt, wie er eigentlich definiert ist. Gemeint ist mit "Urbilder eines Vektors v" die Menge der Vektoren, die durch eine Potenz von A auf v (und dann auf Null; die Abbildung ist nilpotent !) abgebildet werden.

Mit Mathematica kann es übrigens passieren, das die JNF nicht bestimmt werden kann, besonders mit großen Matrizen scheint es Probleme zu geben. Trotzdem: JNF und Mathematica.....