Eigenwert

Definition:

Eine Zahl z aus K heißt ein Eigenwert von f, wenn es zu z einen
Vektor v ungleich Null gibt, für den

f(v) = zv

K ist ein Körper z.B. Körper R der reellen Zahlen
f: V -> V ist ein Endomorphismus

Hier der Algorithmus und ein Beispiel zur Berechnung von Eigenwerten

Eigenschaften:

• Seien z₁ ... z_m paarweise verschiedene Eigenwerte von f und v₁,...,v_m zugehörige Eigenvektoren, dann ist { v₁,...,v_m} linear unabhängig.
• Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Darstellungsmatrix von f sind die Eigenwerte von f.
• Jeder Eigenwert von A ist auch Nullstelle des Minimalpolynoms von A.
• Wenn A aus M_nn lauter verschiedene Eigenwerte hat, so besitzt Rⁿ eine Basis aus Eigenvektoren von A.
• Sei z ein Eigenwert von f : V -> V , dann ist z ² ein Eigenwert von f² = f o f.
  bzw.:
• Wenn z₁ ... z_n die Eigenwerte von A sind, so sind die Eigenwerte von Aⁱ gerade die Zahlen z₁ⁱ + ... + z_nⁱ.
• Wenn A eine symmetrische Matrix ist, so sind alle Eigenwerte von A reell.
• Die Spur einer Matrix A ist die Summe ihrer Eigenwerte:
  Sp(A) = z₁ + ... + z_n
• Seien z₁ ... z_n die Eigenwerte der Matrix A, dann ist
  s_i = z₁ⁱ + ... + z_nⁱ = Sp(Aⁱ ).
• Wenn f(A) = 0 ist, so gilt f(z_i) = 0, für alle Eigenwerte z_i von A.
• Die Eigenwerte einer selbstadjungierten Abbildung sind reell.
• Sei f: V -> V normal. Wenn alle Eigenwerte von f reell sind, so ist f selbstadjungiert.
  Wenn alle Eigenwerte von f den Betrag 1 haben, so ist f unitär.
• Wenn f nicht injektiv ist, dann ist 0 ein Eigenwert von f.
  0 ist Eigenwert von f <==> ker(f) ist ungleich 0