Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Informatik
Nilpotente Endomorphismen
Nilpotente Endomorphismen spielen bei der Bestimmung von Basisvektoren eines Vektorraumes,
bei der Bestimmung der Größe der
Jordankästchen in einem
Jordanblock, sowie
bei der Bestimmung der Basistransformationen für die Berechnung der
Jordanschen Normalform eine Rolle.
Definition
Sei f ein Endomorphismus von V nach V. f heißt
nilpotent vom Grade n, wenn gilt: f**n=0 und f**(n-1) <> 0
(ungleich 0).
Dies gilt also auch für quadratische Matrizen. Man kann diese ja als
Darstellungsmatrizen von linearen Abbildungen auffassen.
Eigenschaften nilpotenter Endomorphismen
- Sei f (V->V) nilpotent vom Grade n. Dann ist
die Menge {v, f(v), ..., f**(n-1)(v)} (v Element aus V) linear
unabhängig.
- Zu obigen Voraussetzungen sei V noch unzerlegbar. Dann existiert ein
v aus V, so daß {v, f(v), ..., f**(n-1)(v)} eine Basis
des Vektorraumes V ist (natürlich muß dimV = n
gelten).
Beispiel
Hier wird demonstriert, wie man ermittelt,
ob eine Matrix nilpotent ist, und man erhält Informationen, wozu man dies
braucht.
Zur Berechnung von Basisvektoren eines Vektorraumes schauen Sie bitte bei
Normalformen nilpotenter Endomorphismen nach.
Fragen oder Ergänzungswünsche bzw. Vorschläge an
Thomas Röblitz oder an den Tutor unter
proksch@informatik.hu-berlin.de
Erstellt am < 03.03.94 > , zuletzt geändert am < 12.05.94
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