/ 1 2 0 \
A= | 1 2 1 |
\ 0 -2 1 /
charakteristisches Polynom:
| 1-z 2 0 |
cA(z) = | 1 2-z 1 | = ( z-1 )^2 * (z-2)
| 0 -2 1-z |
Eigenraum zu Eigenwert z1 = z2 = 1 :
/ 0 2 0 \
A-z1*E = | 1 1 1 |
\ 0 -2 0 /
Gleichungssystem hat Lösung ( t, 0, -t ); setzen v1 = ( 1, 0, -1 )
Dimension des Eigenraums zu z1=z2=1 ist kleiner als Vielfachheit des Eigenwertes im charakteristischen Polynom
Urbild des Eigenvektors bestimmen:
/ 1 \
( A-z1*E ) * v = v1 = | 0 |
\-1 /
Gleichungssystem hat die Lösung v = ( -t -1/2 , 1/2 , t ); setzen v2 = ( -1/2, 1/2, 0)
nun nächster Eigenwert z3=2 hernehmen (da die Anzahl der erhaltenen Vektoren mit der Vielfachheit des Eigenwertes übereinstimmt) und Eigenraum bestimmen:
/ -1 2 0 \
A-z2*E = | 1 0 1 |
\ 0 -2 -1 /
Gleichungssystem hat Lösung ( t, 1/2 t, -t ); setzen v3 = ( 1, 1/2, -1 )
Dimension des Eigenraums zu z3=2 ist gleich der Vielfachheit des Eigenwertes im charakteristischen Polynom, also sind wir fertig
Zusammenstellen der Überführungsmatrix X:
/ 1 -1/2 1 \
X = | 0 1/2 1/2 |
\ -1 0 -1 /
Invertieren:
/ -2 -2 -3 \
X^-1 = | -2 0 -2 |
\ 2 2 2 /
Die Jordansche Normalform ist:
/ 1 1 0 \
J = X^-1 * A * X = | 0 1 0 |
\ 0 0 2 /
wie man sieht, ist die Berechnung der JNF auch gleichzeitig eine Kontrolle, ob man unterwegs immer richtig gearbeitet hat