Elliptische Kurven über beliebigen Körpern $\mathbb{K}$

Nach der anschaulichen Einführung im vorigen Abschnitt wollen wir die elliptischen Kurven etwas formaler vorstellen. Dazu benötigen wir den Begriff der projektiven Ebene:

Definition 2.1   Die projektive Ebene $\P ^{2}\left( \mathbb{K}\right)$ über einem Körper $\mathbb{K}$ ist die Menge von Punkten $\left( x,y,z\right) \in \mathbb{K}^{3}\setminus \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}$ zusammen mit der Äquivalenzrelation $\sim$, wobei $\left( x_{1},y_{1},z_{1}\right) \sim \left( x_{2},y_{2},z_{2}\right)$ genau dann, wenn ein $\lambda \in \mathbb{K}\setminus \left\{ 0\right\}$ existiert mit $x_{1}=\lambda x_{2},\, y_{1}=\lambda y_{2},\, z_{1}=\lambda z_{2}$. Die Äquivalenzklasse von $\left( x,y,z\right)$ wird mit $\left( x:y:z\right)$ bezeichnet.

Beispiel   Man kann sich $\P ^{2}\left( \mathbb{R}\right)$ als die Menge aller Geraden im $\mathbb{R}^{3}$ vorstellen, die durch den Nullpunkt gehen. Beachte dabei, daß $\left( 0,0,0\right) \not \in \P ^{2}\left( \mathbb{R}\right)$. Durch Normierung der dritten Koordinate auf $1$, erhalten wir die Repräsentanten $\left( x_{0}:y_{0}:1\right)$, zusammen mit $\left( x_{0}:y_{0}:0\right)$ (wobei $\left( x_{0},y_{0}\right) \neq \left( 0,0\right)$) den unendlich fernen Punkten. Man kann dann die projektiven Punkte $\left( x_{0}:y_{0}:1\right)$ mit der affinen Ebene $\mathbb{R}^{2}$ identifizieren.

Eine ebene (projektive) algebraische Kurve $C_{F}$ über $\mathbb{K}$ ist dann die Nullstellenmenge eines Polynoms $F\in \mathbb{K}\left[ X,Y,Z\right]$, für welches $F\left( \lambda X,\lambda Y,\lambda Z\right) =\lambda ^{n}F\left( X,Y,Z\right) ,\lambda \in \mathbb{K},$ gilt, falls $n$ der Gesamtgrad von $F$ ist. Nun sieht man leicht, daß der Begriff Nullstelle wohldefiniert auf den Punkten von $\P ^{2}\left( \mathbb{K}\right)$ ist, d.h.

$$C_{F}=\left\{ \left. \left( x_{0}:y_{0}:z_{0}\right) \in \P ^{2}\left( \mathbb{K}\right) \right\vert F\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right) =0\right\}$$

Für unsere Zwecke ist es ausreichend, die Nullstellen eines einzigen solchen Polynoms zu betrachten:

$$F\left( X,Y,Z\right) :=Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}YZ^{2}-X^{3}-a_{2}X^{2}Z-a_{4}XZ^{2}-a_{6}Z^{3}$$

Wir bezeichnen

$$Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}YZ^{2} = X^{3}+a_{2}X^{2}Z-a_{4}XZ^{2}+a_{6}Z^{3}$$

auch als Weierstraß Gleichung, und sprechen in diesem Zusammenhang von den Lösungen der Weierstraß Gleichung.

Die Weierstraß Gleichung heißt nichtsingulär, wenn für alle projektiven Punkte $P=\left( x_{0}:y_{0}:z_{0}\right) \in \P ^{2}\left( \mathbb{K}\right)$, die $F\left( x_{0},y_{0},z_{0}\right) =0$ erfüllen, mindestens eine der (formalen) partiellen Ableitungen $\frac{\partial F}{\partial X},\, \frac{\partial F}{\partial Y},\, \frac{\partial F}{\partial Z}$ in $P$ von Null verschieden ist.

Singuläre elliptische Kurve $y^{2}=x^{3}+x^{2}$

Neillsche Parabel $y^{2}=x^{3}$ über $\mathbb{R}\protect$

Definition 2.2   Eine elliptische Kurve $E$ über einem Körper $\mathbb{K}$ ist die Menge aller Lösungen einer nichtsingulären Weierstraß-Gleichung in $\P ^{2}\left( \mathbb{K}\right)$. Es existiert genau ein Punkt auf $E$, bei dem die $z$-Koordinate gleich Null ist, nämlich $\O :=\left( 0:1:0\right)$. $\O$ heißt der unendlich ferne Punkt.

Sei nun

$$E\left( \mathbb{K}\right) := \left\{ \left. \left( x_{0}:y_{0}:1\right) \in \P ^{2}\left( \mat... ...left( x_{0},y_{0},1\right) =0\right\} \cup \left\{ \left( 0:1:0\right) \right\}$$

Wenn wir nun die Punkte $\left( x_{0},y_{0}\right) \in \mathbb{K}^{2}$ mit den Punkten $\left( x_{0}:y_{0}:1\right) \in \P ^{2}\left( \mathbb{K}\right)$ identifizieren, können wir die elliptische Kurve $E\left( \mathbb{K}\right)$ als Nullstellenmenge von

$$f\left( x,y\right) :=F\left( x,y,1\right) =y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y-x^{3}-a_{2}x^{2}-a_{4}x-a_{6}\in \mathbb{K}\left[ x,y\right]$$

in $\mathbb{K}^{2}$, zusammen mit dem unendlich fernen Punkt $\O$, auffassen.

Diese neue Auffassung der elliptischen Kurve erinnert uns stark an Definition 1. Der einzige Unterschied besteht darin, daß die affine Weierstraß Gleichung

$$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y = x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$$ (2.1)

noch etwas komplizierter aussieht, also die Gleichung 1.1 aus dem vorigen Kapitel. Dies liegt daran, daß die Gleichung 2.1 für Körper mit beliebiger Charakteristik gilt. Wir können aber Gleichung 2.1 mittels Variablentransformation in Gleichung 1.1 überführen.

Diese Transformation vereinfacht die elliptische Kurve $E$ aus Gleichung 2.1 zu einer isomorphen Kurve $E'$ mit der Gleichung

$$\begin{array}{rcll} y^{2} & = & x^{3}+ax+b & \textrm{char}\l... ...\textrm{char}\left( \mathbb{K}\right) =2,\, a_{1}=0 \end{array}$$

mit $a,b$ und $c\in \mathbb{K}$.