Addition in $E\left( \mathbb{K}\right)$

Die Vorschrift für die Addition in $E\left( \mathbb{K}\right)$ bleibt im Falle $\textrm{char}\left( \mathbb{K}\right) \neq 2,3$ die aus Definition 1.2. Die etwas verallgemeinerte Formulierung der Addition, die sich auf die Weierstraß Gleichung 2.1 bezieht, setzt $-P:=\left( x_{1},-y_{1}-a_{1}x_{1}-a_{3}\right)$, falls $P=\left( x_{1},y_{1}\right) \neq \O$. Sonst entspricht sie der Definition 1.2, dabei wird die Tangente an die Kurve $f\left( x,y\right) =0$ im Punkt $P=\left( a,b\right)$ als die Gerade $\frac{\partial f}{\partial x}\left( a,b\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{\partial f}{\partial y}\left( a,b\right) \cdot \left( y-b\right) =0$ definiert.

Da der Fall eines Körpers der Charakteristik 2 für die Kryptologie besonders interessant ist, geben wir hier die expliziten Formeln für diesen Fall an:

Fall  $a_{1}\neq 0$ in 2.1

Sei $P=\left( x_{1},y_{1}\right) \in E\left( \mathbb{K}\right)$. Dann ist

$$-P = \left( x_{1},y_{1}+x_{1}\right) .$$

Für $Q=\left( x_{2},y_{2}\right) \in E\left( \mathbb{K}\right)$ und $Q\neq -P$ gilt $P+Q=\left( x_{3},y_{3}\right)$ mit

$$x_{3} = \left\{ \begin{array}{cc} \left( \frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}\... ...\neq Q\\ x_{1}^{2}+\frac{c}{x_{1}^{2}} & \textrm{falls }P=Q \end{array}\right.$$

$$y_{3} = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}\cdot \l... ...+\frac{y_{1}}{x_{1}}\right) x_{3}+x_{3} & \textrm{falls }P=Q \end{array}\right.$$

Fall $a_{1}=0$ in 2.1

Sei $P=\left( x_{1},y_{1}\right) \in E\left( \mathbb{K}\right)$. Dann ist

$$-P = \left( x_{1},y_{1}+c\right) .$$

Für $Q=\left( x_{2},y_{2}\right) \in E\left( \mathbb{K}\right)$ und $Q\neq -P$ gilt $P+Q=\left( x_{3},y_{3}\right)$ mit

$$x_{3} = \left\{ \begin{array}{cc} \left( \frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}\... ...\neq Q\\ \frac{x_{1}^{4}+a^{2}}{c^{2}} & \textrm{falls }P=Q \end{array}\right.$$

$$y_{3} = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}\cdot \l... ...cdot \left( x_{1}+x_{3}\right) +y_{1}+c & \textrm{falls }P=Q \end{array}\right.$$