Jordansche Normalform

• in der Eigenwerttheorie
• bei der Entscheidung der Ähnlichkeit von Matrizen und Klassifikation von Abbildungen
• zur Bildung der Potenzen einer Matrix
• für die Lösung linearer DGL-Systeme
• und bei der Behandlung rekursiver Folgen

Definition:
Eine Matrix liegt in Jordanscher Normalform (JNF) vor, wenn sie eine Blockdiagonalmatrix ist, deren Blöcke nur aus Jordankästchen besteht..

Beispiel:
ist eine Blockdiagonalmatrix mit Jordankästchen

Eigenschaften:

1. Die Eigenwerte einer Matrix in JNF sind die z₁,...,z_k, dabei müssen die Eigenwerte in verschiedenen Jordankästchen nicht voneinander verschieden sein.
   Für dreireihige Matrizen sind z.B. folgende Jordansche Normalformen möglich:
2. Die Jordankästchen diagonalisierbarer Matrizen haben die Größe 1.
   Beweis: Siehe Anwendung der JNF bei diagonalisierbaren Matrizen.
3. Mit Mathematica läßt sich die JNF mittels JordanDecomposition[ ] oder JordanForm[] berechnen.
   Dazu ein Beispiel ....

4. Die Bererechnung per Hand ist im allgemeinen nicht einfach, aber in vielen Fällen möglich:
   Dazu ein Algorithmus.... und ein Beispiel.....

Bemerkungen

• Praktische Anwendung findet die Jordansche Normalform bei der Behandlung diagonalisierbarer Matrizen, rekursiver Folgen und bei der Lösung Linearer Differentialgleichungen