Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Informatik

Normalform nilpotenter Endomorphismen

Die Normalform nilpotenter Endomorphismen hat die Gestalt:

	0      ...    0
	1 0    ...    0
	0 1 0  ...    0  
	.   . .       .
	.     . .     .
	.       . .   .
	0  ...  0 1 0 
        0  ...    0 1 0

Unter der Diagonalen stehen nur Einsen.

Potenziert man die Normalform, so wandern die Einsen immer weiter in die untere linke Ecke der Matrix.
Sei A eine nilpotente Matrix (Darstellungsmatrix eines nilpotenten Endomorphismus). Dann existiert eine Matrix X, so daß gilt: Normalform von A = X'*A*X (wobei X' die Inverse von X ist). Dabei sind die Spalten von X Basisvektoren des Vektorraumes, welcher Definitions- und Wertebereich der linearen Abbildung A ist. Die Berechnung dieser Matrix und Vektoren ist weiter unten angegeben.

Gegeben sei die Matrix A:

	-4  2  3
	-6  3  5
	-2  1  1

	-2  1  1
	-4  2  2
	 0  0  0

Nun berechnen wir einen Vektor v mit A**2 * v ungleich 0. So einer ist (trivialerweise :-)) ) (1,0,0)