f(x,y,z)=(x, 2x+2y+6z, 3x+y+3z)
Wir wählen uns als erstes eine Basis und stellen den Operator als Matrix dar. Der Einfachheit halber verwenden wir natürlich die kanonische Basis.
Als nächstes bestimmen wir die Eigenwerte der Matrix.
z1=1 ; z2=0 ; z3=5
Gesucht ist jetzt eine nichttriviale Lösung des Gleichungssystems für jeden Eigenwert z, das wir nach folgender Umformung erhalten: Av = zv <=> (A-zE)v = 0 .
für z1=1:
Dieses Gleichungssystem kann man mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus lösen.
Die Lösungsmenge sieht wie folgt aus:
LM(S1)={(4t, -14t, t) | t aus R}
Das ist die Menge der Eigenvektoren zum Eigenwert z1=1. Ein Eigenvektor wäre z.B. (4, -14, 1) für t=1.
für z2=0:
Die Lösungsmenge ist:
LM(S2)={(0, -3t, t) | t aus R}
z.B. (0, -3, 1) für t=1
für z3=5:
Die Lösungsmenge ist:
LM(S3)={(0, 2t, t) | t aus R}
z.B. (0, 2, 1) für t=1
Die Basen {(4, -14, 1)},{(0, -3, 1)},{(0, 2 1)} spannen drei eindimensionale Eigenräume zu den jeweiligen Eigenwerten auf. Diese Eigenschaft kann nun z.B. auch zur Darstellung in der Jordanschen Normalform genutzt werden.