Eigenvektor

Wir gehen von einem Endomorphismus f: V -> V des Vektorraums V über einem Körper R aus. Uns interessiert jetzt die Frage, ob es einen Vektor v (v aus V) gibt, der unter der Wirkung von f seine Richtung nicht ändert, d.h. es existiert eine Zahl z mit f(v)=zv. Einen solchen Vektor v nennen wir einen Eigenvektor von f und die Zahl z den dazugehörigen Eigenwert. Wie man leicht sieht erfüllt der Nullvektor genau die eben genannte Eigenschaft. Ihn wollen wir ausdrücklich nicht als Eigenvektor ansehen. Nehmen wir jetzt an, z sei ein Eigenwert von f, d.h. es gibt ein v (ungleich dem Nullvektor) aus V mit f(v )=zv. Dann sei V_z die Menge aller v (Element V) mit f(v)=zv (einschließlich dem Nullvektor). Dann heißt V_z der Eigenraum von f zum Eigenwert z.

Es stellt sich natürlich die Frage, ob solche Eigenvektoren bzw. Eigenwerte überhaupt existieren und wenn sie existieren, wie man sie ermitteln kann. Dazu übertragen wir die gesamte Problematik in die Sprache der Matrizen.

Definition:

Sei A eine n x n Matrix mit Elementen aus dem KörperR und v=[v₁,...,v_n]^T<>0 ein Spaltenvektor aus dem n-dimensionalen Raum R, dann heißt v Eigenvektor von A, wenn eine Zahl z existiert, so daß Av=zv gilt. Die Zahl z heißt der zu v gehörige Eigenwert.

Wie ermittelt man praktisch die Eigenvektoren einer Matrix ?

Wir wissen bereits, daß man die Eigenwerte einer Matix ermitteln kann, indem man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms dieser Matrix berechnet. An dieser Stelle möchte ich ansetzen und zeigen, wie man die Eigenvektoren zu den einzelnen Eigenwerten durch das Lösen eines linearen Gleichungssystems berechnen kann. Ich glaube die Berechnung wird am verständlichsten, wenn wir uns diese an einem Beispiel klarmachen.