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Logik in der Informatik
Prof. Dr. Nicole Schweikardt |
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Hier finden Sie (nach den Vorlesungen) Informationen zum Inhalt der einzelnen Vorlesungsstunden, die in der Vorlesung verwendeten Folien, Teile des Skripts und gelegentlich auch Korrekturen und sonstige ergänzende Bemerkungen.
Kapitel 1: Einführung ins Thema "Logik in der
Informatik" — Paradoxien, Syllogismen, Anwendungen der Logik in der
Informatik, Logik-Programmierung und Prolog.
Organisatorisches (entlang der Webseite der Vorlesung).
Material:
Folien 1-24,
Skript Seiten 1-18
Weitere Lektüre:
Kapitel 1 und 2.A in [KK],
Einleitung und Kapitel 1.1 in [S],
Vorwort und Kapitel 1.1, 1.5 und 2.1
in [B],
"Indroduction" der beiden Bücher [SS] und [BBS].
Eine Vorabversion des in der Vorlesung zitierten Artikel "On the unusual effectiveness of
logic in computer science" von Halpern, Harper, Immerman, Kolaitis, Vardi
und Vianu (Bulletin of Symbolic Logic 7(2):213-236 (2001)) finden
Sie hier.
Start mit Kapitel 2: Aussagenlogik — heute: Einführung und Beispiele, Syntax und Semantik der Aussagenlogik, rekursive Definitionen über Formeln, Modelle, das Koinzidenzlemma, Vereinbarungen und Notationen
Material:
Folien 25-50,
Skript Seiten 19-31,
Übungsblatt 1
Weitere Lektüre:
Kapitel 1 und 2.A in [KK],
Einleitung und Kapitel 1.1 in [S],
Kapitel 2.1 und 2.2 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: weitere Vereinbarungen und Notationen, Wahrheitstafeln, ein Logikrätsel, computerlesbare Darstellung von Formeln; Demo des Formelcheckers für die Aussagenlogik "snippets-of-logic"; Auflösung des Rätsels zur Geburtstagsfeier (Beispiel 2.1); Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit, die Folgerungsbeziehung
Material:
Folien 51-69,
Skript Seiten 31-40,
Formelchecker für die Aussagenlogik: snippets-of-logic
Weitere Lektüre:
Kapitel 1 und 2.A in [KK],
Kapitel 1.1 und 1.2 in [S],
Kapitel 2.2 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Modus Ponens; Zusammenhänge zwischen Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit und Folgerungsbeziehung; aussagenlogische Modellierung am Beispiel von Sudokus; aussagenlogische Modellierung am Beispiel der automatischen Hardwareverifikation
Material:
Folien 70-84,
Skript Seiten 40-50,
Übungsblatt 2
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A in [KK],
Kapitel 1.1 und 1.2 in [S],
Kapitel 2.4.1 und 2.5 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Äquivalenz von Formeln und Formelmengen; fundamentale Äquivalenzen; Beweise per Induktion über den Aufbau von Formeln; der Dualitätssatz der Aussagenlogik (inkl. Beweis)
Material:
Folien 85-96,
Skript Seiten 50-57
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A in [KK],
Kapitel 1.2 und 1.4 in [S],
Kapitel 2.6 und 2.8 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: boolesche Funktionen und die funktionale Vollständigkeit der Aussagenlogik; Adäquatheit von Mengen von Junktoren und Konstanten; detaillierter Beweis der Adäquatheit von {¬,∧}; exklusives Oder, der Mehrheitsjunktor und der Sheffer-Strich (NAND-Gatter)
Material:
Folien 97-104,
Skript Seiten 57-62,
Übungsblatt 3
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A und 2.B in [KK],
Kapitel 1.4 und 1.5 in [S],
Kapitel 2.8 und 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Negationsnormalform (NNF), Disjunktive Normalform (DNF) und Konjunktive Normalform (KNF); Beispiele und Algorithmen zur Transformation in NNF, DNF und KNF
Material:
Folien 105-118,
Skript Seiten 62-70
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A und 2.B in [KK],
Kapitel 1.4 und 1.5 in [S],
Kapitel 2.8 und 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: eine kleine Formel mit großer DNF; der Endlichkeitssatz der Aussagenlogik
Material:
Folien 119-121,
Skript Seiten 70-73,
Übungsblatt 4
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Beispiel für eine Anwendung des Endlichkeitssatzes (um nachzuweisen, dass ein unendlicher Graph genau dann k-färbbar ist, wenn jeder endliche Subgraph k-färbbar ist); einführendes Beispiel zum Thema Resolution; Tseitin-Verfahren zur effizienten Umwandlung beliebiger Formeln in erfüllbarkeitsäquivalente KNF-Formeln; Repräsentation disjunktiver Klauseln durch endliche Mengen von Literalen; Repräsentation von KNF-Formeln durch endliche Klauselmengen; der Begriff einer Resolvente zweier Klauseln; Formulierung des Resolutionslemmas
Material:
Folien 121-129,
Skript Seiten 73-80
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: das Resolutionslemma (inkl. Beweis); Resolutionsableitungen und Resolutionswiderlegungen; Korrektheit und Vollständigkeit der Resolution (d.h.: eine Klauselmenge besitzt genau dann eine Resolutionswiderlegung, wenn sie unerfüllbar ist)
Material:
Folien 129-134,
Skript Seiten 80-85,
Übungsblatt 5
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Abschluss des Beweises der Vollständigkeit der Resolution; Vorsicht beim Anwenden der Resolutionsregel; der Satz von Haken (ohne Beweis); Algorithmen zur Lösung des (NP-vollständigen) aussagenlogischen Erfüllbarkeitsproblems: der Wahrheitstafelalgorithmus, der Resolutionsalgorithmus, der DPLL-Algorithmus (inkl. Beispiel)
Material:
Folien 135-145,
Skript Seiten 85-93,
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Die SAT Competition ist ein
jährlich stattfindender internationaler Wettbewerb, bei dem effiziente
Implementierungen von Algorithmen zur Lösung des SAT-Problems
gegeneinander antreten. Mehr Details finden Sie auf der Webseite der
SAT Competition 2014.
Im Jahr 2014 fanden im Rahmen des Vienna Summer of Logic
auch die FLoC Olympic Games 2014
statt, in die die SAT Competition 2014 eingebettet war.
Ein sehr guter Überblick über den Stand der Forschung zum Thema
"SAT-Solver" findet sich beispielsweise in der
Dissertation Towards Next Generation Sequential and Parallel
SAT Solvers von
Dr. Norbert
Manthey (TU Dresden, 2014).
Abschluss von Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Hornklauseln und Hornformeln; der Streichungsalgorithmus: ein effizienter Erfüllbarkeitsalgorithmus für Hornformeln (Algorithmus, Beispiel-Läufe, Laufzeitanalyse und Korrektheitsbeweis)
Material:
Folien 146-153,
Skript Seiten 93-100,
Übungsblatt 6
Weitere Lektüre:
Kapitel 1.3 in [S],
Kapitel 2.11 in [B].
Start mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Signaturen, Strukturen, Beispiele für Signaturen und Strukturen, Eigenschaftern 2-stelliger Relationen, Äquivalenzrelationen, Ordnungen, arithmetische Strukturen, Wörter als Strukturen, relationale Datenbanken als Strukturen; Restriktionen und Expansionen; Isomorphie
Material:
Folien 154-180,
Skript Seiten 101-113
Weitere Lektüre:
Kapitel I und Kapitel III.1 in [EFT].
Einen Überblick über die Rolle der Logik in der Informatik gibt der Artikel
"On the unusual effectiveness of
logic in computer science" von Halpern, Harper, Immerman, Kolaitis, Vardi
und Vianu (Bulletin of Symbolic Logic 7(2):213-236 (2001)), den
Sie hier
finden.
Einen Überblick über die Geschichte der logischen Grundlagen der
Mathematik gibt der Comic Logicomix.
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: weitere Beispiele zur Isomorphie; Variablen und Terme der Logik erster Stufe, Belegungen, σ-Interpretationen, Semantik von Termen; Vergleich zwischen Aussagenlogik und Logik erster Stufe; Syntax der Logik erster Stufe; Beispiele zur Semantik der Logik erster Stufe
Material:
Folien 180-202,
Skript Seiten 113-122,
Übungsblatt 7
Weitere Lektüre:
Kapitel III.1 und Kapitel II.1-3 in [EFT].
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: weiteres Beispiel zur Semantik der Logik erster Stufe; formale Definition der Semantik der Logik erster Stufe; die Modellbeziehung; Subterme, Subformeln und Syntaxbäume; Formulierung des Isomorphielemmas der Logik erster Stufe (für Terme und Formeln); generelle Form von Beweisen per Induktion über den Aufbau von Termen und Formeln, Beweis von Teil (a) des Isomorphielemmas (Aussage für Terme), Beginn des Beweises von Teil (b) des Isomorphielemmas (Aussage für Formeln)
Material:
Folien 203-220,
Skript Seiten 122-133,
Weitere Lektüre:
Kapitel II.1-3 und Kapitel III.2-3
in [EFT];
Chapter 5.1-5.7 in [B]
Kapitel 4.A in [KK];
Kapitel 2.1 und 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Abschluss des Beweises von Teil (b) des Isomorphielemmas; das Koinzidenzlemma der Logik erster Stufe; freie Variablen; Sätze der Logik erster Stufe; Modellklassen und Definierbarkeit (bzw. Axiomatisierbarkeit) von Klassen von Strukturen; Beispiele für Formeln der Logik erster Stufe in verschiedenen Anwendungsbereichen: lineare Ordnungen, Arithmetik, Worte
Material:
Folien 220-237,
Skript Seiten 132-142,
Übungsblatt 8
Weitere Lektüre:
Kapitel II.4-5 und Kapitel III.4-5
in [EFT];
Chapter 5.1-5.7 in [B]
Kapitel 4.A in [KK];
Kapitel 2.1 und 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: weitere Beispiele für Formeln der Logik erster Stufe in verschiedenen Anwendungsbereichen: Datenbanken; eine andere Sicht auf die Semantik der Logik erster Stufe; die von einer Formel in einer Struktur definierte n-stellige Relation; rekursive Beschreibung dieser Relation, die zu einem Algorithmus führt, der das Auswertungsproblem für FO löst; Äquivalenz von Formeln der Logik erster Stufe
Material:
Folien 238-256,
Skript Seiten 142-151
Weitere Lektüre:
Kapitel II.5 und Kapitel III.4 und III.6
in [EFT],
Kapitel 1.1 in [L]
relationale Signaturen; Ehrenfeucht-Fraisse-Spiele: Spielregeln des m-Runden EF-Spiels, Gewinnbedingung, partielle Isomorphismen, Beispiele; Formalisierung des Begriffs "Gewinnstrategie"; der Begriff der Quantorentiefe einer FO-Formel; Formulierung des Satzes von Ehrenfeucht (ohne Beweis); Erklärung, wie Spoiler durch "Ausspielen einer Formel" eine Gewinnstrategie erhält; Beginn des Beweises der einfachen Version des Satzes von Ehrenfeucht (heute: Induktionsanfang)
Material:
Folien 257-270,
Skript Seiten 152-160,
Übungsblatt 9
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.2 und 3.3 in [L],
Kapitel 4.3 in [FG]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Abschluss des Beweises der einfachen Version des Satzes von Ehrenfeucht (heute: Induktionsschritt); Begriff der FO-Definierbarkeit einer Klasse von σ-Strukturen, Korollar über nicht-FO-definierbare Klassen von σ-Strukturen; das EF-Spiel auf 2 endlichen linearen Ordnungen; Beginn des Nachweises, dass Duplicator eine Gewinnstrategie im m-Runden EF-Spiel auf 2 endlichen linearen Ordnungen der Kardinalität > 2m besitzt (Formulierung der Invariante und Nachweis, dass die Invariante für i=0 erfüllt ist)
Material:
Folien 270-275,
Skript Seiten 160-165
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.2 und 3.3 in [L]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Nachweis, dass Duplicator eine Gewinnstrategie im m-Runden EF-Spiel auf 2 endlichen linearen Ordnungen der Kardinalität > 2m besitzt; Folgerung, dass die Klasse aller endlichen linearen Ordnungen gerader Kardinalität nicht FO-definierbar ist; Beweis des Resultats, das besagt, dass weder Graph-Zusammenhang noch Erreichbarkeit FO-definierbar sind; Bemerkung zur Methode der logischen Reduktionen
Material:
Folien 274-281,
Skript Seiten 164-170,
Übungsblatt 10
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.5 und 3.2 in [L]
Abschluss von Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit und die Folgerungsbeziehung für Formeln der Logik erster Stufe; die Formeln "Verum" und "Falsum"; Normalformen für Formeln der Logik erster Stufe: Negationsnormalform und Pränex-Normalform
Material:
Folien 282-293,
Skript Seiten 170-176
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.2 und 3.6 in
[L],
Kapitel 2.2 in [S]
Start mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Ableitungsregeln, Kalküle, Ableitungen in Kalkülen; Beispiele für Kalküle (zur Definition bestimmter Mengen natürlicher Zahlen, zur Definition der syntaktisch korrekten aussagenlogischen Formeln, Resolutionskalkül der Aussagenlogik); Mengen, die unter einem Kalkül abgeschlossen sind; Charakterisierung aller aus einer Menge V in einem Kalkül K ableitbaren Elemente als die kleinste unter K abgeschlossene Menge, die jedes Element aus V enthält; Induktionsprinzip für die Menge der ableitbaren Elemente eines Kalküls; der Begriff einer "Sequenz", die Menge MS aller Sequenzen, Korrektheit von Sequenzen
Material:
Folien 294-310,
Skript Seiten 177-187,
Übungsblatt 11
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.6 in
[L],
Kapitel 2.2 in [S],
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Korrektheit, Vollständigkeit und Effektivität von Kalkülen über der Menge MS; der Begriff der Korrektheit von Sequenzenregeln; Einführung und Korrektheit der Grundregeln (V) und (E) und der aussagenlogischen Regeln ( (FU), (W), etc ); Substitutionen und das Substitutionslemma (ohne Beweis); Einführung und Korrektheit der Quantorenregel "Einführung des Allquantors im Antezdens"
Material:
Folien 311-322,
Skript Seiten 187-195
Weitere Lektüre:
Kapitel IV.1-4, IV.6 und III.8 in [EFT],
Kapitel 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Einführung und Korrektheit der Quantorenregeln "Einführung des Allquantors im Sukzedens", "Einführung des Existenzquantors im Antezedens", "Einführung des Existenzquantors im Sukzedens" und der Gleichheitsregeln (G) und (S); Einführung und Korrektheit des Sequenzenkalküls kS; Anmerkungen zur Effektivität des Sequenzenkalküls kS; Beispiele für Ableitungen im Sequenzenkalkül kS; ein mittels Ableitungen im Sequenzenkalkül kS definierter Begriff der Beweisbarkeit von Formeln aus Formelmengen; Widerspruchsfreie und widerspruchsvolle Formelmengen; Formulierung des Vollständigkeitssatzes und des Erfüllbarkeitslemmas
Material:
Folien 321-331,
Skript Seiten 194-201,
Übungsblatt 12
Weitere Lektüre:
Kapitel IV.2-4, IV.6 und III.8 in [EFT],
Kapitel 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: der Vollständigkeitssatz und das Erfüllbarkeitslemma; Beweis des Vollständigkeitssatzes unter Verwendung des Erfüllbarkeitslemmas; der Endlichkeitssatz (inkl. Beweis unter Verwendung des Vollständigkeitssatzes); erststufige Axiomatisierbarkeit; Anwendung des Endlichkeitssatzes zum Beweis der Nicht-Axiomatisierbarkeit der Endlichkeit und der Nicht-Axiomatisierbarkeit von Graph-Zusammenhang
Material:
Folien 331-339,
Skript Seiten 201-209
Weitere Lektüre:
Kapitel IV.7, V und VI.1-3 in [EFT]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Abschluss des Beweises der Nicht-Axiomatisierbarkeit von Graph-Zusammenhang; der Satz von Löwenheim und Skolem (ohne Beweis) inkl. Anwendung des Satzes; Einführung ins Thema "die Grenzen der Berechenbarkeit": Entscheidungsprobleme, Entscheidbarkeit, Semi-Entscheidbarkeit; Entscheidungsprobleme für die Logik erster Stufe; die Semi-Entscheidbarkeit des Allgemeingültigkeitsproblems, des Unerfüllbarkeitsproblems und des Folgerungsproblems für die Logik erster Stufe; Unentscheidbarkeit des Allgemeingültigkeitsproblems für die Logik erster Stufe (durch Nutzen der Unentscheidbarkeit des Postschen Korrespondenzproblems)
Material:
Folien 339-352,
Skript Seiten 209-220,
Übungsblatt 13
Weitere Lektüre:
Kapitel VI.1-3 und X.1-4 in [EFT]
Kapitel 2.3 in [S]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Nachweis der Unentscheidbarkeit des Unerfüllbarkeitsproblems und des Folgerungsproblems und der Nicht-Semi-Entscheidbarkeit des Erfüllbarkeitsproblems für die Logik erster Stufe; Abschnitt 4.5 über den Satz von Herbrand: Grundterme, Herbrandstrukturen, Herbrandmodelle, gleichheitsfreie Formeln in Skolemform, die (aussagenlogische Version der) Herbrand-Expansion eines gleichheitsfreien Satzes in Skolemform, der Satz von Gödel-Herbrand-Skolem, der Satz von Herbrand
Material:
Folien 353-363,
Skript 220-228
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.4 in [S] und
Kapitel XI.1-3 in [EFT]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Abschluss des Beweises des Satzes von Herbrand, Anwendung des Satzes von Herbrand, Skolemisierung
Material:
Folien 363-365,
Skript Seiten
227-232
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.4 in [S]
Abschluss von Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens
- heute: Grundlagen von automatischen Theorembeweisern, inkl. Beispiel
Start mit Kapitel 5: Logik-Programmierung - heute:
Einführung ins Thema ("deklarativ" vs. "imperativ") und Anwendungsgebiete der
Logikprogrammierung;
Syntax und Semantik von Logikprogrammen: Fakten, Anfragen,
Variablen, Regeln,
Atome, Zahlen, Konstanten, Terme,
Substitutionen, Anwendung von Substitutionen, Instanzen von Termen,
Grundterme und Grundinstanzen, Ableitungen aus Logikprogrammen,
Beweisbäume
Material:
Folien 366-395,
Skript 232-248
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.1-3.3 in [S],
Introduction und Chapter 1 (Basic Constructs) in [SS],
Kapitel 3.C in [KK],
Kapitel XI.7 in [EFT]
Weiter mit Kapitel 5: Logik-Programmierung - heute: , deklarative Semantik von Logikprogrammen: formale Definition der Bedeutung eines Programms und der Antwort auf eine Anfrage; viele Beispiele; ein Beispiel zum Unterschied zwischen Theorie und Praxis (Wege in gerichteten Graphen); Anfragen an Logikprogramme; operationelle Semantik; ANTWORT(Π,α) (ein einfacher Interpreter für Logikprogramme); Korrektheit und Vollständigkeit des Interpreters (ohne Beweis)
Material:
Folien 395-414,
Skript 247-261
Weitere Lektüre:
Introduction und Teil I (also Chapter 1, 2, 3, 4 und 5) in [SS],
Kapitel 3.1-3.3 in [S],
Kapitel XI.7 in [EFT]
Abschluss von Kapitel 5: Logik-Programmierung - heute:
Unifikatoren; Beispiele zur Unifikation;
Äquivalenz und Allgemeinheit von Substitutionen; allgemeinste Unifikatoren
(engl.: mgu - für most general unifiers);
der Unifikationsalgorithmus MGU(t,s)
Beispiele zur Anwendung des Algorithmus MGU(t,s);
UANTWORT(Π,α) (ein Interpreter für Logikprogramme mit
allgemeinsten Unifikatoren); Korrektheit und Vollständigkeit des
Interpreters (ohne Beweis); Reines Prolog; ein Prolog-Interpreter
PErsteANTWORT(Π,α); linksrekursive Regeln; Beispiele zum
Unterschied zwischen Theorie und Praxis (d.h. Logik-Programmierung und Prolog)
Nachtrag zu Kapitel 4: Abschluss des Beweises der Unentscheidbarkeit des Allgemeingültigkeitsproblems für
die Logik erster Stufe (durch Nutzen der
Unentscheidbarkeit des Postschen Korrespondenzproblems)
Material:
Folien 413-433 und 348-352
Skript 261-274 und 216-220
Weitere Lektüre:
Introduction und Teil I (also Chapter 1, 2, 3, 4 und 5) in [SS],
Kapitel 3.1-3.3 in [S],
Kapitel XI.7 in [EFT]
Hilfestellungen zur Klausurvorbereitung. Inbes.: Details zum Ablauf der Klausur und Durcharbeiten einiger Beispiel-Aufgaben
Material: Eine Zusammenstellung wichtiger Informationen sowie die in der Vorlesungsstunde verwendeten Beispielaufgaben finden Sie hier.