Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Informatik

Zerlegbare Unterräume

Wir befassen uns mit Homomorphismen in V.
Sei U invarianter Unterraum von V bezüglich f mit der Basis B1 und sei B Basis von V und sei B2 so gewählt, daß die Basen B1 und B2 sich zu B ergänzen. Gilt nun, dass f(B1) Teilmenge von L(B1) und f(B2) Teilmenge von L(B2) ist, so sind sowohl U1 als auch U2 invariante Unterraeume von V und es gilt:

Satz: Es gibt unzerlegbare invariante Unterraeume U1,...,Ur mit: V ist die direkte Summe aller U1,...,Ur.

Beweis: Wenn V unzerlegbar, so folgt r=1, U1 = V
sonst: V = U1 (+) U2 ("(+)" sei die direkte Summe) und dann zerlegen wir U1 & U2 solange bis keine Zerlegung mehr möglich ist. Nach endlich vielen Schritten wird man also alle unzerlegbare invariante Unterräume von V finden.

Satz: Sei f ein Endomorphismus und V unzerlegbar, dann ist U=Im(f) ein unzerlegbarer invarianter Unterraum.

Indirekter Beweis:
Sei U in U₁ und U₂ zerlegbar, dann können wir eine Basis für U derart angeben, daß B₁={b₁,...,b_k} auch Basis von U₁ und B₂={b_(k+1),...,b_n} Basis von U₂ sind.
Nun gilt
f^(-1)(U₁)=V₁(+)Ker(f) und
f^(-1)(U₂)=V₂(+)Ker(f).
Nun kann man sich überlegen, daß V₁ und V₂ invariant sein müßten was jedoch der Unzerlegbarkeit von V wiederspäche.

Beispiel:

Damit existieren die folgenden invarianten Unterräume:

Eigenschaften:

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Erstellt am < 28.02.95 > , zuletzt geändert am < 18.04.95 >