5) Elementar-symmetrische Polynome

In[11]:=
  {s1, s2, s3} =   
  {x+y+z, x y + x z + y z, x y z}

sind die sogenannten elementar-symmetrischen Polynome. Durch Wahl einer geigneten Termordnung in k[x, y, z, s1, s2, s3] und der Berechnung der GB des von
{s1 - x + y + z, s2 - (x y + x z + y z),
s3 - x y z} erzeugten Ideals erhält man einen Normalformalgorithmus für symmetrische Polynome in k[x, y, z], der jedes symmetrische
Polynom als Polynom in den elementarsymmetrischen Funktionen s1, s2 und s3 darstellt. Führen Sie die Details aus und ermitteln Sie für die folgenden Funktionen ihre Normalform

a)

In[12]:=
  f1 = x + y + z + 7*x^2*y^2*z +   
     
    x^3*y^3*z + 7*x^2*y*z^2 +   
     
    7*x*y^2*z^2 + 2*x^3*y^2*z^2 +   
     
    2*x^2*y^3*z^2 + x^3*y*z^3 +   
     
    2*x^2*y^2*z^3 + x*y^3*z^3

b)

In[13]:=
  f2 = x^3

Up to Aufgabe 3