Symmetrische Gruppe

Definition: Es sei M eine endliche Menge von n Elemente. Die Gruppe aller Permutationen von M heißt die symmetrische Gruppe von Index n.


Sn = { p: M --> M } wobei M = { 1,2,...,n }
Beispiel


Eigenschaft:
1). Sn hat n! Elemente
2). Sn ist kommutativ für n = 1,2 und nichtkommutativ für n >= 3


Definiton : Es sei m in [1,...,n] .
Die Menge ist eine Untergruppe von Sn.
* p,q in Sn gilt genau dann wenn p(m)=q(m) .
* Die Anzahl der Nebenklassen von Sn ist gleich n .
Definition : Eine Permutation heißt Zyklus , wenn es eine Teilmenge so daß für k = 1,...,m-1 gilt :

Beispiel :


* Jede Permutation ist ein Produkt disjungkter Zyklen.
Beispiel :