Beweis der 1.Eigenschaft

Wir nehmen an , daß f(z) ein Polynom mit f(A)=0 ist . Es gibt dann Polynome q(z) und r(z) , für welche f(z)=q(z)*m(z)+r(z) und r(z)=0 oder deg(r) < deg(m) gelten . Wir setzen z=A in diese Gleichung ein . Da f(A)=0 und m(A)=0 sind , folgt auch r(A)=0 . Wenn r(z) nicht Nullpolynom wäre , dann ist r(z) das Minimalpolynom von A . Nach Vorrausetzung ist aber m(z) schon das Minimalpolynom von A , also es gibt nur noch eine Möglichkeit r(z)=0 , damit r(A)=0 ist . Da r(z)=0 ist , ist m(z) einen Teiler von f(z) .