\documentstyle[german]{article}
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\textheight23cm
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\begin{document}
\begin{flushleft}

\setlength{\parskip}{0pt plus 0pt minus 0pt}

{\rm \bf \LARGE Invariante Unter"aume}

\bigskip
{\rm \normalsize
Wir betrachten die Funktion \it $ f(x): V \mapsto V $ }
bzw.\ den Operator \\ ($ die \rightarrow {\it Darstellungsmatrix}
\leftarrow $).

\bigskip
{\bf Definition:} Der {\em Unterraum} ${\bf U \subseteq V}$ des Vektorraumes {\bf V}
hei"st A\\ {\em invarianter Unterraum}, falls gilt: \hspace{5mm} $
{\forall u \in U} \colon \ \ f(u) \in U \ $ \\
\bigskip
Die Darstellungsmatrix mit der Basis $B=\{b_{1},b_{2},b_{3},...\}$ und mit einem invarianten
Unterraum mit der Basis $B_{U}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}$ sieht dann wie folgt aus:\\
\medskip
\begin{displaymath}
A_{BB}(f)=\left(
\begin{array}{cccccc}
   &   &   & ? & \cdots & ? \\
   & \mbox{n $\times$ n Matrix} \\
   & \mbox{auf der Diagonalen}  &   & ? & \cdots & ? \\
& \\
 0 & \cdots & 0 & ? & \cdots & ? \\
&  \\
 \vdots & \ddots & \vdots & ? & \cdots & ? \\
& \\
 0 & 0 & 0 & ? & \cdots & ? \\
\end{array}
\right)
\end{displaymath}
\bigskip
{\bf Lemma:} Es gen"ugt f"ur einen A invarianten Unterraum U zu zeigen: \\
$\forall {b \in B :} $\ $ f(b) \in U $ \ ({\it wobei B Basis von U also U = L(B)})\\
\medskip
sei B = (b1,b2,b3) Basis von U und es gilt: $\forall u \in B: f(u) \in U $ \\
f\"ur ein beliebiges v $\in$ U: \\
v = $x_{1}\cdot b1 + x_{2}\cdot b2 + x_{3}\cdot b3 $\\
$\Rightarrow
f(v) = f(x_{1}\cdot b1 + x_{2}\cdot b2 + x_{3}\cdot b3) $ \\
\hspace{11.5mm}= $f(x_{1}\cdot b1) + f(x_{2}\cdot b2) + f(x_{3}\cdot b3) $\\
\hspace{11.5mm}= $x_{1}\cdot f(b1) + x_{2}\cdot f(b2) + x_{3}\cdot f(b3) $\\
$\Rightarrow$
$\forall u \in U: f(u) \in U $\\

\bigskip
{\bf \large \underline{1.Beispiel:}} \\
\medskip
\underline{gegeben:} \\
\medskip
$ V = \Re^{3} = \lbrace ( x, y, z ) \mid x, y, z \in \Re \rbrace $\\
\bigskip
Basis:     $ e1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)
\hspace{7mm} e2 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)
\hspace{7mm} e3 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)
$ \\
\bigskip
($ \rightarrow {\it Basis \ eines \ Vektorraumes} \leftarrow $).\\
\bigskip
f(x) = $ (x_{1},x_{2},10\cdot x_{3}) $ \\
\bigskip
\underline{L"osung:} \\
\medskip
Berechnen die {\it Darstellungsmatrix} $ A_{BB}(f) $: \\
\bigskip
$ f(e1) = f \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 1\cdot 1 \\ 1\cdot 0 \\ 10\cdot 0 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = 1\cdot e1 + 0\cdot e2 + 0\cdot e3 $\\
\medskip
$ f(e2) = f \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 1\cdot 0 \\ 1\cdot 1 \\ 10\cdot 1 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 10 \end{array} \right) = 0\cdot e1 + 10\cdot e2 + (-9)\cdot e3 $\\
\medskip
$ f(e3) = f \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 1\cdot 0 \\ 1\cdot 1 \\ 10\cdot 0 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) = 0\cdot e1 + 0\cdot e2 + 1\cdot e3 $ \\
\bigskip
$ A_{BB}(f) =
\left( \
\begin{array}{|ccc|}
\hline
1 & 0 & 0 \\
0 & 10 & 0 \\
0 & -9 & 1 \\
\hline
\end{array}
\ \right) $ \\
\bigskip $ 
% +++++++++++++++++++++++++++++ Unterraum 1 +++++++++++++++++++++++++++++++++
\Rightarrow \ U_{1} = \left\lbrace \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right\rbrace
\hspace{3.36cm} \begin{array}{|c|cc|} \hline
1 & ? \mbox{\hspace{2.8mm}} & ? \\ \hline 0 & ? \mbox{\hspace{2.8mm}} & ? \\ 0 & ? \mbox{\hspace{2.8mm}} & ? \\ \hline \end{array} 
$ \\ $
% +++++++++++++++++++++++++++++ Unterraum 2 +++++++++++++++++++++++++++++++++
\Rightarrow \ U_{2} = \left\lbrace \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) ,
                                   \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \right\rbrace
\hspace{2cm} \begin{array}{|c|cc|} \hline
? & 0 & 0 \\ \hline ? & 10 & 0 \\ ? & -9 & 1 \\ \hline \end{array}
$ \\ $
% +++++++++++++++++++++++++++++ Unterraum 3 +++++++++++++++++++++++++++++++++
\Rightarrow \  U_{3} = \left\lbrace \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \right\rbrace
\hspace{3.36cm} \begin{array}{|cc|c|} \hline
? & ? \mbox{\hspace{2.8mm}} & 0 \\ ? & ? \mbox{\hspace{2.8mm}} & 0 \\ \hline ? & ? \mbox{\hspace{2.8mm}} & 1 \\ \hline \end{array}
$

\bigskip
{\bf \large \underline{2.Beispiel:}} \\
\medskip
\underline{gegeben:} \\
\bigskip
$ V = \Re^{3} = \lbrace ( x, y, z ) \mid x, y, z \in \Re \rbrace $\\
\bigskip
Basis:     $ e1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)
\hspace{7mm} e2 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)
\hspace{7mm} e3 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
$ \\
\bigskip
($ \rightarrow {\it Basis \ eines \ Vektorraumes} \leftarrow $).\\
\bigskip
f(x) = $ (3 \cdot x_{1} + x_{2},7 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{1},3\cdot x_{1} + 2\cdot x_{3}) $ \\
\bigskip
\underline{L"osung:} \\
\medskip
Berechnen die {\it Darstellungsmatrix} von f: \\
\bigskip
$ f(e1) = f \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 3\cdot 1 \\ 2\cdot 1 \\  3\cdot 1 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) 2\cdot e1+3\cdot e2+2\cdot e3 $

$ f(e2) = f \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 7\cdot 1 \\ 0 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 7 \\ 0 \end{array} \right) 1\cdot e1+7\cdot e2+0\cdot e3 $

$ f(e3) = f \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2\cdot 1 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) 0\cdot e1+0\cdot e2+2\cdot e3 $ \\
\bigskip
$ A_{BB}(f) =
\left( \
\begin{tabular}{|cc|c|}
\hline
2 & 1 & 0 \\
3 & 7 & 0 \\
2 & 0 & 2 \\
\hline
\end{tabular}
\ \right) $ \\
\bigskip $
\Rightarrow \ U_{1} = \left\lbrace \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right\rbrace
\hspace{7mm} U_{2} = \left\lbrace \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) ,
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) ,
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right\rbrace
$

\pagebreak
{\bf \large \underline{Eigenschaften invarianter Unterr"aume:}} \\
\bigskip
\begin{enumerate}
\item Sei $\lbrace e_{1},\cdots,e_{k},\cdots,e_{n} \rbrace $ eine Basis vom
Vektorraum V derart, da"s $\lbrace e_{1},\cdots,e_{k} \rbrace $ eine Basis
vom Unterraum U ist, der A inveriant ist, dann sieht die Matrix A
wiefolgt aus :\\
\bigskip
$ A =
\left(
\begin{array}{ccccccc}
U_{A}                & ?      & \cdots & ?      \\
0 \cdots 0           & \vdots & \ddots & \vdots \\
\vdots \ddots \vdots & \vdots & \      & \vdots \\
0 \cdots 0           & ?      & \cdots & ? \\
\end{array}
\right)
$
\item Ein Vektorraum V mit endlicher Basis l"a"st sich in eine endliche
Zahl {\bf m} unzerlegbarer invarianter Unterr\"aume zerlegen. \\
Soda"s gilt: $V = U_{1} \oplus \cdots \oplus U_{m}$ \\
\bigskip
(Beweis: wenn V unzerlegbar $\Rightarrow m=1, U_{1} = V$,\\
\hspace{10mm} sonst: $V = U_{1} \oplus U_{2}$ und zerlegen dann $U_{1} \& U_{2}$, solange \\
\hspace{10mm} bis keine Zerlegung mehr m"oglich)
\item Es gelte $f: V \mapsto V$ und V unzerlegbar, dann ist U = Imf(f) ein
unzerlegbarer invarianter Unterraum.\\
\bigskip
(Beweisidee: Invarianz von U ist klar:\\
\hspace{7mm} $f(U) = f(f(U)) \in Imf(f) = U$ \\
\bigskip
Man nehme an U w"are zerlegbar: \\
\bigskip
\hspace{14mm}
$U = U_{1} \oplus U_{2}$ \\
\bigskip
Beweisen nun das daraus folgen w"urde, da"s V zerlegbar sein m"u"ste.\\
Das steht jedoch im Widerspruch zur Voraussetzung.\\
Q.E.D. {\footnotesize $\langle$ vollst"andiger Beweis siehe Kapitel 12
{\em ''Normalformen von Matrizen''} \ $\rangle$})

\end{enumerate}

\end{flushleft}
\end{document}