Invariante Unteräume

Wir betrachten die Funktion f(x) : V ↦ V bzw. den Operator (die → Darstellungsmatrix ←). Definition: Der Unterraum U ⊆ V des Vektorraumes V heißt A invarianter Unterraum, falls gilt: ∀u ∈ U: f(u) ∈ U Die Darstellungsmatrix mit der Basis B = {b_{1}, b_{2}, b_{3}, ...} und mit einem invarianten Unterraum mit der Basis B_{U} = {b_{1}, b_{2}, b_{3}} sieht dann wie folgt aus:

A_{BB}(f) = ( \begin{matrix}& & & ? & ⋯ & ? \\ & n × n Matrix \\ & auf der Diagonalen & & ? & ⋯ & ? \\ 0 & ⋯ & 0 & ? & ⋯ & ? \\ ⋮ & ... & ⋮ & ? & ⋯ & ? \\ 0 & 0 & 0 & ? & ⋯ & ? \end{matrix} )

Lemma: Es genügt für einen A invarianten Unterraum U zu zeigen: ∀b ∈ B : f(b) ∈ U (wobei B Basis von U also U = L(B)) sei B = (b1,b2,b3) Basis von U und es gilt: ∀u ∈ B : f(u) ∈ U für ein beliebiges v ∈ U: v = x_{1} · b1 + x_{2} · b2 + x_{3} · b3 ⇒ f(v) = f(x_{1} · b1 + x_{2} · b2 + x_{3} · b3)

= f(x_{1} · b1) + f(x_{2} · b2) + f(x_{3} · b3)

= x_{1} · f(b1) + x_{2} · f(b2) + x_{3} · f(b3)

⇒ ∀u ∈ U : f(u) ∈ U

\underline{1.Beispiel:}

\underline{gegeben:} V = ℜ^{3} = {(x, y, z) | x, y, z ∈ ℜ}

Basis: e1 = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )  e2 = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )  e3 = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )

(→ Basis eines Vektorraumes ←). f(x) = (x_{1}, x_{2}, 10 · x_{3}) \underline{Lösung:} Berechnen die Darstellungsmatrix A_{BB}(f):

f(e1) = f ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 · 1 \\ 1 · 0 \\ 10 · 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = 1 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3

f(e2) = f ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 · 0 \\ 1 · 1 \\ 10 · 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 10 \end{matrix} ) = 0 · e1 + 10 · e2 + (−9) · e3

f(e3) = f ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 · 0 \\ 1 · 1 \\ 10 · 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) = 0 · e1 + 0 · e2 + 1 · e3

A_{BB}(f) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & −9 & 1 \end{matrix} )

⇒ U_{1} = \{( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )\} 1 ? ? 0 ? ? 0 ? ?

⇒ U_{2} = \{( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )\} \begin{matrix}? & 0 & 0 \\ ? & 10 & 0 \\ ? & −9 & 1 \end{matrix}

⇒ U_{3} = \{( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )\}  ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1

\underline{2.Beispiel:}

\underline{gegeben:} V = ℜ^{3} = {(x, y, z) | x, y, z ∈ ℜ}

Basis: e1 = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) e2 = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) e3 = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )

(→ Basis eines Vektorraumes ←). f(x) = (3 · x_{1} + x_{2}, 7 · x_{2} + 2 · x_{1}, 3 · x_{1} + 2 · x_{3}) \underline{Lösung:} Berechnen die Darstellungsmatrix von f:

f(e1) = f ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 · 1 \\ 2 · 1 \\ 3 · 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) 2 · e1 + 3 · e2 + 2 · e3

f(e2) = f ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 7 · 1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 7 \\ 0 \end{matrix} ) 1 · e1 + 7 · e2 + 0 · e3

f(e3) = f ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 2 · 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) 0 · e1 + 0 · e2 + 2 · e3

A_{BB}(f) = ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 3 & 7 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{matrix} )

⇒ U_{1} = \{( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )\} U_{2} = \{( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )\}

Eigenschaften invarianter Unterräume:

1. Sei {e_{1}, ⋯, e_{k}, ⋯, e_{n}} eine Basis vom Vektorraum V derart, daß {e_{1}, ⋯, e_{k}} eine Basis vom Unterraum U ist, der A inveriant ist, dann sieht die Matrix A wiefolgt aus :

A = ( \begin{matrix}U_{A} & ? & ⋯ & ? \\ 0 ⋯ 0 & ⋮ & ... & ⋮ \\ ⋮ ... ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 ⋯ 0 & ? & ⋯ & ? \end{matrix} )

2. Ein Vektorraum V mit endlicher Basis läßt sich in eine endliche Zahl m unzerlegbarer invarianter Unterräume zerlegen. Sodaß gilt: V = U_{1} ⊕ ⋯ ⊕ U_{m}

(Beweis: wenn V unzerlegbar ⇒ m = 1, U_{1} = V, sonst: V = U_{1} ⊕ U_{2} und zerlegen dann U_{1}&U_{2}, solange bis keine Zerlegung mehr möglich)

3. Es gelte f : V ↦ V und V unzerlegbar, dann ist U = Imf(f) ein unzerlegbarer invarianter Unterraum.

(Beweisidee: Invarianz von U ist klar:

f(U) = f(f(U)) ∈ Imf(f) = U

Man nehme an U wäre zerlegbar:

U = U_{1} ⊕ U_{2}

Beweisen nun das daraus folgen würde, daß V zerlegbar sein müßte. Das steht jedoch im Widerspruch zur Voraussetzung.

Q.E.D. ⟨ vollständiger Beweis siehe Kapitel 12 ”Normalformen von Matrizen” ⟩)