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Logik in der Informatik
Prof. Dr. Nicole Schweikardt |
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In diesem Logbuch finden Sie (nach den Vorlesungen) Informationen zum Inhalt der einzelnen Vorlesungsstunden, die entsprechenden Teile des Skripts und gelegentlich auch Korrekturen und sonstige ergänzende Bemerkungen.
Am Dienstag, dem 15.10.24, fand die Eröffnungsvorlesung statt.
Kapitel 1: Einführung ins Thema "Logik in der Informatik" — heute:
Paradoxien, Syllogismen, Anwendungen der Logik in der
Informatik, Logik-Programmierung und Prolog
Organisatorisches (entlang der Webseite der Vorlesung).
Material:
Skript Seiten 1-16
Weitere Lektüre:
Kapitel 1 und 2.A in [KK],
Einleitung und Kapitel 1.1 in [S],
Vorwort und Kapitel 1.1, 1.5 und 2.1
in [B],
"Indroduction" der beiden Bücher [SS] und [BBS].
Eine Vorabversion des in der Vorlesung zitierten Artikel "On the unusual effectiveness of
logic in computer science" von Halpern, Harper, Immerman, Kolaitis, Vardi
und Vianu (Bulletin of Symbolic Logic 7(2):213-236 (2001)) finden
Sie hier.
Abschluss von Kapitel 1: Einführung ins Thema "Logik in der Informatik" — heute: Lernziele, Semesterausblick, Literatur
Start mit Kapitel 2: Aussagenlogik — heute:
Einführung und Beispiele, Syntax und Semantik der
Aussagenlogik, rekursive Definitionen über Formeln, Modelle, das
Koinzidenzlemma, Vereinbarungen und Notationen
Material:
Skript Seiten 17-33 (bis zum Ende von Folie 56)
Weitere Lektüre:
Kapitel 1 und 2.A in [KK],
Einleitung und Kapitel 1.1 in [S],
Kapitel 2.1 und 2.2 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Wahrheitstafeln, ein Logikrätsel, computerlesbare Darstellung von Formeln; Demo des Formelcheckers für die Aussagenlogik "snippets-of-logic"; Auflösung des Rätsels zur Geburtstagsfeier (Beispiel 2.1); Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit, Folgerungsbeziehung, Modus Ponens; Zusammenhänge zwischen Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit und Folgerungsbeziehung
Material:
Skript Seiten 33-46 (bis inkl. Folie 78),
Formelchecker für die Aussagenlogik: snippets-of-logic
Weitere Lektüre:
Kapitel 1 und 2.A in [KK],
Kapitel 1.1 und 1.2 in [S],
Kapitel 2.2 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: aussagenlogische Modellierung am Beispiel von Sudokus; kurze Info zur aussagenlogischen Modellierung am Beispiel der automatischen Hardwareverifikation (Details hierzu finden sich im Vorlesungsskript); Äquivalenz von Formeln und Formelmengen; fundamentale Äquivalenzen; Definition des Begriffs duale Formel und Formulierung des Dualitätssatzes
Material:
Skript Seiten 47-55 (bis inkl. Folie 91)
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A in [KK],
Kapitel 1.1 und 1.2 in [S],
Kapitel 2.4.1 und 2.5 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Beweise per Induktion über den Aufbau von Formeln; Beweis des Dualitätssatzes der Aussagenlogik; boolesche Funktionen und die funktionale Vollständigkeit der Aussagenlogik
Material:
Skript Seiten 53-61
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A in [KK],
Kapitel 1.2 und 1.4 in [S],
Kapitel 2.6 und 2.8 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Adäquatheit von Mengen von Junktoren und Konstanten; detaillierter Beweis der Adäquatheit von {¬,∨} und von {¬,∧}; Beweisidee für die Adäquatheit von {0, →}; Beweisidee für die Nicht-Adäquatheit von {∨, ∧, →}; weitere Junktoren: exklusives Oder, der Mehrheitsjunktor und der Sheffer-Strich (NAND-Gatter); Beweisidee für die Adäquatheit des Sheffer-Strichs; Negationsnormalform (NNF): Beispiele, ein Algorithmus zur Transformation in NNF, Satz (heute noch ohne Beweis) zur Existenz von äquivalenten Formeln in NNF
Material:
Skript Seiten 61-66 (bis inkl. Folie 107, aber heute noch ohne Beweis von Satz 2.37)
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A und 2.B in [KK],
Kapitel 1.4 und 1.5 in [S],
Kapitel 2.8 und 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Beweis von Satz 2.37 (NNF); Disjunktive Normalform (DNF) und Konjunktive Normalform (KNF); Beispiele und Algorithmen zur Transformation in NNF, DNF und KNF; eine kurze Formel in KNF, so dass jede hierzu äquivalente DNF-Formel exponentiell länger ist; Formulierung des Endlichkeitssatzes
Material:
Skript Seiten 64-65 und 66-73
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A und 2.B in [KK],
Kapitel 1.4 und 1.5 in [S],
Kapitel 2.8 und 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: der Endlichkeitssatz der Aussagenlogik; eine Anwendung des Endlichkeitssatzes (Nachweis, dass ein unendlicher Graph genau dann k-färbbar ist, wenn jeder endliche Subgraph k-färbbar ist)
Material:
Skript Seiten 73-78
Weitere Lekt.re:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: restliche Details zur Anwendung des Endlichkeitssatzes zum Nachweis, dass ein unendlicher Graph genau dann k-färbbar ist, wenn jeder endliche Subgraph k-färbbar ist; einführendes Beispiel zum Thema Resolution; Tseitin-Verfahren zur effizienten Umwandlung beliebiger Formeln in erfüllbarkeitsäquivalente KNF-Formeln; Repräsentation disjunktiver Klauseln durch endliche Mengen von Literalen; Repräsentation von KNF-Formeln durch endliche Klauselmengen; der Begriff einer Resolvente zweier Klauseln; das Resolutionslemma (inkl. Beweis); Resolutionsableitungen und Resolutionswiderlegungen; Beispiel für eine Resolutionswiderlegung; Aussage des Satzes über die Korrektheit und Vollständigkeit der Resolution (d.h.: eine Klauselmenge besitzt genau dann eine Resolutionswiderlegung, wenn sie unerfüllbar ist)
Material:
Skript Seiten 78-86
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Beweis des Satzes über die Korrektheit und Vollständigkeit der Resolution; Vorsicht beim Anwenden der Resolutionsregel; der Satz von Haken (ohne Beweis); Algorithmen zur Lösung des (NP-vollständigen) aussagenlogischen Erfüllbarkeitsproblems: der Wahrheitstafelalgorithmus, der Resolutionsalgorithmus, der DPLL-Algorithmus
Material:
Skript Seiten 86-93 (bis zum Ende von Folie 143)
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Die SAT Competition ist ein
jährlich stattfindender internationaler Wettbewerb, bei dem effiziente
Implementierungen von Algorithmen zur Lösung des SAT-Problems
gegeneinander antreten. Mehr Details finden Sie auf der Webseite der
SAT Competition 2014.
Im Jahr 2014 fanden im Rahmen des Vienna Summer of Logic
auch die FLoC Olympic Games 2014
statt, in die die SAT Competition 2014 eingebettet war.
Ein sehr guter Überblick über den Stand der Forschung zum Thema
"SAT-Solver" findet sich beispielsweise in der
Dissertation Towards Next Generation Sequential and Parallel
SAT Solvers von
Dr. Norbert
Manthey (TU Dresden, 2014).
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Details zum DPLL-Algorithmus (inkl. Beispiel); Hornklauseln und Hornformeln; der Streichungsalgorithmus: ein effizienter Erfüllbarkeitsalgorithmus für Hornformeln: Algorithmus, ein Beispiel-Lauf, Laufzeitanalyse und Korrektheitsbeweis)
Material:
Skript Seiten 93-101 (bis zum Ende von Teil (a) von Beispiel 2.65)
Weitere Lektüre:
Kapitel 1.3 in [S],
Kapitel 2.11 in [B].
Einen Überblick über die Rolle der Logik in der Informatik gibt der Artikel
"On the unusual effectiveness of
logic in computer science" von Halpern, Harper, Immerman, Kolaitis, Vardi
und Vianu (Bulletin of Symbolic Logic 7(2):213-236 (2001)), den
Sie hier
finden.
Einen Überblick über die Geschichte der logischen Grundlagen der
Mathematik gibt der Comic Logicomix.
Abschluss von Kapitel 2: Aussagenlogik - heute:
ein weiterer Beispiel-Lauf des Streichungsalgorithmus, Laufzeitanalyse und Korrektheitsbeweis
Start mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute:
Signaturen, Strukturen,
Beispiele für Signaturen und Strukturen, Eigenschaften 2-stelliger Relationen, Äquivalenzrelationen, Ordnungen,
arithmetische Strukturen
Material:
Skript Seiten 101-110 (bis inkl. Folie 164)
Weitere Lektüre:
Kapitel I und Kapitel III.1 in [EFT].
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: weitere Beispiele für Signaturen und Strukturen: Wörter als Strukturen, relationale Datenbanken als Strukturen; Restriktionen und Expansionen; Isomorphie; Variablen und Terme der Logik erster Stufe, Belegungen, σ-Interpretationen, Semantik von σ-Termen; Vergleich zwischen Aussagenlogik und Logik erster Stufe; Syntax der Logik erster Stufe; ein Beispiel zur Semantik der Logik erster Stufe
Material:
Skript Seiten 110-124 (bis zum Ende von Folie 196)
Weitere Lektüre:
Kapitel I und Kapitel III.1 in [EFT].
Einen Überblick über die Rolle der Logik in der Informatik gibt der Artikel
"On the unusual effectiveness of
logic in computer science" von Halpern, Harper, Immerman, Kolaitis, Vardi
und Vianu (Bulletin of Symbolic Logic 7(2):213-236 (2001)), den
Sie hier
finden.
Einen Überblick über die Geschichte der logischen Grundlagen der
Mathematik gibt der Comic Logicomix.
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: weitere Beispiele zur Semantik der Logik erster Stufe; formale Definition der Semantik der Logik erster Stufe; die Modellbeziehung; Subformeln, Subterme und Syntaxbäume; generelle Form von Beweisen per Induktion über den Aufbau von Termen und Formeln; Formulierung und Beginn des Beweises des Isomorphielemmas der Logik erster Stufe (heute: Beweis für Terme)
Material:
Skript Seiten 124-133
Weitere Lektüre:
Kapitel III.1 und Kapitel II.1-3 in [EFT].
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Abschluss des Beweises des Isomorphielemmas der Logik erster Stufe (heute: für Formeln); generelle Form von Beweisen per Induktion über den Aufbau von Termen und Formeln; das Koinzidenzlemma der Logik erster Stufe; Sätze der Logik erster Stufe; Modellklassen und Definierbarkeit (bzw. Axiomatisierbarkeit) von Klassen von Strukturen; Beispiele für Formeln der Logik erster Stufe in verschiedenen Anwendungsbereichen: lineare Ordnungen
Material:
Skript Seiten 133-142 (bis inkl. Folie 228)
Weitere Lektüre:
Kapitel II.1-3 und Kapitel III.2-3
in [EFT];
Chapter 5.1-5.7 in [B]
Kapitel 4.A in [KK];
Kapitel 2.1 und 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Beispiele für Formeln der Logik erster Stufe in verschiedenen Anwendungsbereichen: Arithmetik; Worte, Datenbanken; eine andere Sicht auf die Semantik der Logik erster Stufe: die von einer Formel in einer Struktur definierte n-stellige Relation; rekursive Beschreibung dieser Relation, die zu einem Algorithmus führt, der das Auswertungsproblem für FO löst; Äquivalenz von Formeln der Logik erster Stufe
Material:
Skript Seiten 142-152 (bis inkl. Folie 247)
Weitere Lektüre:
Kapitel II.4-5 und Kapitel III.4-5
in [EFT];
Chapter 5.1-5.7 in [B]
Kapitel 4.A in [KK];
Kapitel 2.1 und 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Übertragung von aussagenlogischen Äquivalenzen auf Äquivalenz von Formeln der Logik erster Stufe (Lemma 3.43); Zusammenspiel zwischen Quantoren und Negationen; das Ersetzungslemma; Beginn des Abschnitts zum Thema "EF-Spiele": relationale Signaturen; Ehrenfeucht-Fraisse-Spiele: Spielregeln des m-Runden EF-Spiels; Gewinnbedingung, partielle Isomorphismen, viele Beispiele; Formalisierung des Begriffs "Gewinnstrategie"
Material:
Skript Seiten 152-158
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.2 und 3.3 in [L],
Kapitel 4.3 in [FG]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: der Begriff der Quantorentiefe einer FO-Formel; Formulierung des Satzes von Ehrenfeucht (ohne Beweis); Erklärung, wie Spoiler durch "Ausspielen einer Formel" eine Gewinnstrategie erhält; Beweis der einfachen Version des Satzes von Ehrenfeucht
Material:
Skript Seiten 159-165
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.2, 3.3 und 3.5 in [L]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Begriff der FO-Definierbarkeit einer Klasse von σ-Strukturen, Korollar über nicht-FO-definierbare Klassen von σ-Strukturen; das EF-Spiel auf 2 endlichen linearen Ordnungen; Beweis, dass Duplicator eine Gewinnstrategie im m-Runden EF-Spiel auf 2 endlichen linearen Ordnungen der Kardinalität > 2m besitzt; Folgerung, dass die Klasse aller endlichen linearen Ordnungen gerader Kardinalität nicht FO-definierbar ist; Nicht-FO-Definierbarkeit von Graph-Zusammenhang (ohne Beweis) und Erreichbarkeit
Material:
Skript Seiten 165-172
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.2, 3.3 und 3.6 in [L]