|
Logik in der Informatik
Prof. Dr. Nicole Schweikardt |
|
In diesem Logbuch finden Sie (nach den Vorlesungen) Informationen zum Inhalt der einzelnen Vorlesungsstunden, die entsprechenden Teile des Skripts und gelegentlich auch Korrekturen und sonstige ergänzende Bemerkungen.
Am Dienstag, dem 17.10.23, findet die Eröffnungsvorlesung statt.
Kapitel 1: Einführung ins Thema "Logik in der Informatik" — heute:
Paradoxien, Syllogismen, Anwendungen der Logik in der
Informatik, Logik-Programmierung und Prolog
Organisatorisches (entlang der Webseite der Vorlesung).
Material:
Skript Seiten 1-20
Weitere Lektüre:
Kapitel 1 und 2.A in [KK],
Einleitung und Kapitel 1.1 in [S],
Vorwort und Kapitel 1.1, 1.5 und 2.1
in [B],
"Indroduction" der beiden Bücher [SS] und [BBS].
Eine Vorabversion des in der Vorlesung zitierten Artikel "On the unusual effectiveness of
logic in computer science" von Halpern, Harper, Immerman, Kolaitis, Vardi
und Vianu (Bulletin of Symbolic Logic 7(2):213-236 (2001)) finden
Sie hier.
Start mit Kapitel 2: Aussagenlogik — heute: Einführung und Beispiele, Syntax und Semantik der Aussagenlogik, rekursive Definitionen über Formeln, Modelle, das Koinzidenzlemma
Material:
Skript Seiten 21-32
Weitere Lektüre:
Kapitel 1 und 2.A in [KK],
Einleitung und Kapitel 1.1 in [S],
Kapitel 2.1 und 2.2 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Vereinbarungen und Notationen Wahrheitstafeln, ein Logikrätsel, computerlesbare Darstellung von Formeln; Demo des Formelcheckers für die Aussagenlogik "snippets-of-logic"; Auflösung des Rätsels zur Geburtstagsfeier (Beispiel 2.1); Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit, Folgerungsbeziehung
Material:
Skript Seiten 32-43 (bis inkl. Folie 73),
Formelchecker für die Aussagenlogik: snippets-of-logic
Weitere Lektüre:
Kapitel 1 und 2.A in [KK],
Kapitel 1.1 und 1.2 in [S],
Kapitel 2.2 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Modus Ponens; Zusammenhänge zwischen Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit und Folgerungsbeziehung; aussagenlogische Modellierung am Beispiel von Sudokus; kurze Info zur aussagenlogischen Modellierung am Beispiel der automatischen Hardwareverifikation (Details hierzu finden sich im Vorlesungsskript); Äquivalenz von Formeln und Formelmengen; einige fundamentale Äquivalenzen
Material:
Skript Seiten 43-53
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A in [KK],
Kapitel 1.1 und 1.2 in [S],
Kapitel 2.4.1 und 2.5 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: weitere fundamentale Äquivalenzen; Beweise per Induktion über den Aufbau von Formeln; der Dualitätssatz der Aussagenlogik (inkl. Beweis); boolesche Funktionen und Vorarbeiten zur funktionalen Vollständigkeit der Aussagenlogik
Material:
Skript Seiten 53-60
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A in [KK],
Kapitel 1.2 und 1.4 in [S],
Kapitel 2.6 und 2.8 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: die funktionale Vollständigkeit der Aussagenlogik; Adäquatheit von Mengen von Junktoren und Konstanten; detaillierter Beweis der Adäquatheit von {¬,∨} und von {0, →}; detaillierter Beweis der Nicht-Adäquatheit von {∨, ∧, →}; weitere Junktoren: exklusives Oder, der Mehrheitsjunktor und der Sheffer-Strich (NAND-Gatter)
Material:
Skript Seiten 59-64
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A und 2.B in [KK],
Kapitel 1.4 und 1.5 in [S],
Kapitel 2.8 und 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Negationsnormalform (NNF), Disjunktive Normalform (DNF) und Konjunktive Normalform (KNF); Beispiele und Algorithmen zur Transformation in NNF, DNF und KNF; eine kurze Formel in KNF, so dass jede hierzu äquivalente DNF-Formel exponentiell länger ist
Material:
Skript Seiten 64-73 (bis zum Ende von Kapitel 2.4)
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A und 2.B in [KK],
Kapitel 1.4 und 1.5 in [S],
Kapitel 2.8 und 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: der Endlichkeitssatz der Aussagenlogik inkl. einer Anwendung des Endlichkeitssatzes (Nachweis, dass ein unendlicher Graph genau dann k-färbbar ist, wenn jeder endliche Subgraph k-färbbar ist)
Material:
Skript Seiten 73-78
Weitere Lekt.re:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Resolution; einführendes Beispiel zum Thema Resolution; Tseitin-Verfahren zur effizienten Umwandlung beliebiger Formeln in erfüllbarkeitsäquivalente KNF-Formeln; Repräsentation disjunktiver Klauseln durch endliche Mengen von Literalen; Repräsentation von KNF-Formeln durch endliche Klauselmengen; der Begriff einer Resolvente zweier Klauseln; das Resolutionslemma (inkl. Beweis); Resolutionsableitungen und Resolutionswiderlegungen; Korrektheit und Vollständigkeit der Resolution (d.h.: eine Klauselmenge besitzt genau dann eine Resolutionswiderlegung, wenn sie unerfüllbar ist; Beweis Vollständigkeit bis inkl. Zwischenbehauptung 3)
Material:
Skript Seiten 78-88
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Abschluss des Beweises der Vollständigkeit der Resolution; Vorsicht beim Anwenden der Resolutionsregel; der Satz von Haken (ohne Beweis); Algorithmen zur Lösung des (NP-vollständigen) aussagenlogischen Erfüllbarkeitsproblems: der Wahrheitstafelalgorithmus, der Resolutionsalgorithmus, der DPLL-Algorithmus (inkl. Beispiel)
Material:
Skript Seiten 86-97
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Die SAT Competition ist ein
jährlich stattfindender internationaler Wettbewerb, bei dem effiziente
Implementierungen von Algorithmen zur Lösung des SAT-Problems
gegeneinander antreten. Mehr Details finden Sie auf der Webseite der
SAT Competition 2014.
Im Jahr 2014 fanden im Rahmen des Vienna Summer of Logic
auch die FLoC Olympic Games 2014
statt, in die die SAT Competition 2014 eingebettet war.
Ein sehr guter Überblick über den Stand der Forschung zum Thema
"SAT-Solver" findet sich beispielsweise in der
Dissertation Towards Next Generation Sequential and Parallel
SAT Solvers von
Dr. Norbert
Manthey (TU Dresden, 2014).
Abschluss von Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Hornklauseln und Hornformeln; der Streichungsalgorithmus: ein effizienter Erfüllbarkeitsalgorithmus für Hornformeln (Algorithmus, Beispiel-Läufe, Laufzeitanalyse und Korrektheitsbeweis) Start mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Signaturen, Strukturen, Beispiele für Signaturen und Strukturen, Eigenschaften 2-stelliger Relationen, Äquivalenzrelationen, Ordnungen
Material:
Skript Seiten 97-109 (bis inkl. Beispiel (b) auf Folie 163)
Weitere Lektüre:
Kapitel 1.3 in [S],
Kapitel 2.11 in [B].
Einen Überblick über die Rolle der Logik in der Informatik gibt der Artikel
"On the unusual effectiveness of
logic in computer science" von Halpern, Harper, Immerman, Kolaitis, Vardi
und Vianu (Bulletin of Symbolic Logic 7(2):213-236 (2001)), den
Sie hier
finden.
Einen Überblick über die Geschichte der logischen Grundlagen der
Mathematik gibt der Comic Logicomix.
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: weitere Beispiele für Signaturen und Strukturen, Ordnungen, arithmetische Strukturen, Wörter als Strukturen, relationale Datenbanken als Strukturen; Restriktionen und Expansionen; Isomorphie; Variablen und Terme der Logik erster Stufe, Belegungen, σ-Interpretationen, Semantik von σ-Termen
Material:
Skript Seiten 109-120
Weitere Lektüre:
Kapitel I und Kapitel III.1 in [EFT].
Einen Überblick über die Rolle der Logik in der Informatik gibt der Artikel
"On the unusual effectiveness of
logic in computer science" von Halpern, Harper, Immerman, Kolaitis, Vardi
und Vianu (Bulletin of Symbolic Logic 7(2):213-236 (2001)), den
Sie hier
finden.
Einen Überblick über die Geschichte der logischen Grundlagen der
Mathematik gibt der Comic Logicomix.
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Vergleich zwischen Aussagenlogik und Logik erster Stufe; Syntax der Logik erster Stufe; Beispiele zur Semantik der Logik erster Stufe; formale Definition der Semantik der Logik erster Stufe; die Modellbeziehung; Subformeln, Subterme und Syntaxbäume
Material:
Skript Seiten 120-129
Weitere Lektüre:
Kapitel III.1 und Kapitel II.1-3 in [EFT].
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Formulierung und Beweis des Isomorphielemmas der Logik erster Stufe (für Terme und Formeln); generelle Form von Beweisen per Induktion über den Aufbau von Termen und Formeln; freie Variablen
Material:
Skript Seiten 130-137
Weitere Lektüre:
Kapitel II.1-3 und Kapitel III.2-3
in [EFT];
Chapter 5.1-5.7 in [B]
Kapitel 4.A in [KK];
Kapitel 2.1 und 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: das Koinzidenzlemma der Logik erster Stufe; Sätze der Logik erster Stufe; Modellklassen und Definierbarkeit (bzw. Axiomatisierbarkeit) von Klassen von Strukturen; Beispiele für Formeln der Logik erster Stufe in verschiedenen Anwendungsbereichen: lineare Ordnungen, Arithmetik
Material:
Skript Seiten 138-143
Weitere Lektüre:
Kapitel II.4-5 und Kapitel III.4-5
in [EFT];
Chapter 5.1-5.7 in [B]
Kapitel 4.A in [KK];
Kapitel 2.1 und 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: weitere Beispiele für Formeln der Logik erster Stufe in verschiedenen Anwendungsbereichen: Worte, Datenbanken; eine andere Sicht auf die Semantik der Logik erster Stufe: die von einer Formel in einer Struktur definierte n-stellige Relation; rekursive Beschreibung dieser Relation, die zu einem Algorithmus führt, der das Auswertungsproblem für FO löst; Äquivalenz von Formeln der Logik erster Stufe
Material:
Skript Seiten 144-152 (bis inkl. Folie 248)
Weitere Lektüre:
Kapitel II.5 und Kapitel III.4 und III.6
in [EFT],
Kapitel 1.1 in [L]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Übertragung von aussagenlogischen Äquivalenzen auf Äquivalenz von Formeln der Logik erster Stufe (Lemma 3.43); Zusammenspiel zwischen Quantoren und Negationen; das Ersetzungslemma; Beginn des Abschnitts zum Thema "EF-Spiele": relationale Signaturen; Ehrenfeucht-Fraisse-Spiele: Spielregeln des m-Runden EF-Spiels; Gewinnbedingung, partielle Isomorphismen, viele Beispiele; Formalisierung des Begriffs "Gewinnstrategie"
Material:
Skript Seiten 152-158
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.2 und 3.3 in [L],
Kapitel 4.3 in [FG]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: der Begriff der Quantorentiefe einer FO-Formel; Formulierung des Satzes von Ehrenfeucht (ohne Beweis); Erklärung, wie Spoiler durch "Ausspielen einer Formel" eine Gewinnstrategie erhält; Beweis der einfachen Version des Satzes von Ehrenfeucht; Begriff der FO-Definierbarkeit einer Klasse von σ-Strukturen, Korollar über nicht-FO-definierbare Klassen von σ-Strukturen; das EF-Spiel auf 2 endlichen linearen Ordnungen
Material:
Skript Seiten 159-167
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.2 und 3.3 in [L]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Beweis, dass Duplicator eine Gewinnstrategie im m-Runden EF-Spiel auf 2 endlichen linearen Ordnungen der Kardinalität > 2m besitzt; Folgerung, dass die Klasse aller endlichen linearen Ordnungen gerader Kardinalität nicht FO-definierbar ist; Beweis des Resultats, das besagt, dass weder Graph-Zusammenhang noch Erreichbarkeit FO-definierbar sind; Bemerkung zur Methode der logischen Reduktionen
Material:
Skript Seiten 167-173
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.5 und 3.2 und 3.6 in [L]
Abschluss von Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit und die Folgerungsbeziehung für Formeln der Logik erster Stufe; die Formeln "Verum" und "Falsum"; Normalformen für Formeln der Logik erster Stufe: Negationsnormalform und Pränex-Normalform; Beweis, dass jede FO-Formel äquivalent zu einer Formel in Pränex-Normalform ist Start mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Ableitungsregeln, Kalküle, Ableitungen in Kalkülen; ein Beispiel
Material:
Skript Seiten 173-184
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.6 in
[L],
Kapitel 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: weitere Beispiele für Kalküle (zur Definition bestimmter Mengen natürlicher Zahlen, zur Definition der syntaktisch korrekten aussagenlogischen Formeln, Resolutionskalkül der Aussagenlogik); Mengen, die unter einem Kalkül abgeschlossen sind; Charakterisierung aller aus einer Menge V in einem Kalkül K ableitbaren Elemente als die kleinste unter K abgeschlossene Menge, die jedes Element aus V enthält; Induktionsprinzip für die Menge der ableitbaren Elemente eines Kalküls; der Begriff einer "Sequenz", die Menge MS aller Sequenzen, Korrektheit von Sequenzen; Korrektheit, Vollständigkeit und Effektivität von Kalkülen über der Menge MS; der Begriff der Korrektheit von Sequenzenregeln; Einführung und Korrektheit und Effektivität der Grundregeln (V) und (E)
Material:
Skript Seiten 184-194
Weitere Lektüre:
Kapitel IV.1-4, IV.6 und III.8 in [EFT],
Kapitel 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Einführung und Korrektheit und Effektivität der aussagenlogischen Regeln ( (FU), (W), etc ); Substitutionen und das Substitutionslemma (ohne Beweis); Einführung und Korrektheit und Effektivität der Quantorenregeln "Einführung des Allquantors im Sukzedens", "Einführung des Existenzquantors im Antezedens", "Einführung des Existenzquantors im Sukzedens" und der Gleichheitsregeln (G) und (S); Einführung und Korrektheit des Sequenzenkalküls kS; Anmerkungen zur Effektivität des Sequenzenkalküls kS; Beispiele für Ableitungen im Sequenzenkalkül kS; ein mittels Ableitungen im Sequenzenkalkül kS definierter Begriff der Beweisbarkeit von Formeln aus Formelmengen; Widerspruchsfreie und widerspruchsvolle Formelmengen; der Vollständigkeitssatz und das Erfüllbarkeitslemma
Material:
Skript Seiten 193-206
Weitere Lektüre:
Kapitel IV.2-4, IV.6 und III.8 in [EFT],
Kapitel 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Beweis des Vollständigkeitssatzes unter Verwendung des Erfüllbarkeitslemmas der Endlichkeitssatz (inkl. Beweis unter Verwendung des Vollständigkeitssatzes); erststufige Axiomatisierbarkeit; Anwendung des Endlichkeitssatzes zum Beweis der Nicht-Axiomatisierbarkeit der Endlichkeit; Anwendung des Endlichkeitssatzes zum Beweis der Nicht-Axiomatisierbarkeit von Graph-Zusammenhang; der Satz von Löwenheim und Skolem (ohne Beweis) inkl. Anwendung des Satzes; Einführung ins Thema "die Grenzen der Berechenbarkeit": Entscheidungsprobleme, Entscheidbarkeit, Semi-Entscheidbarkeit; Entscheidungsprobleme für die Logik erster Stufe
Material:
Skript Seiten 207-217
Weitere Lektüre:
Kapitel IV.7, V und VI.1-3 in [EFT]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens
- heute: die Semi-Entscheidbarkeit des Allgemeingültigkeitsproblems, des
Unerfüllbarkeitsproblems und des Folgerungsproblems für die Logik erster
Stufe; die Unentscheidbarkeit des Allgemeingültigkeitsproblems für
die Logik erster Stufe (vorerst ohne Beweis);
Beginn mit Kapitel 4.5 über den Satz von Herbrand: Grundterme, Herbrandstrukturen,
Herbrandmodelle, gleichheitsfreie Formeln in Skolemform, die (aussagenlogische Version der) Herbrand-Expansion eines
gleichheitsfreien Satzes in Skolemform, der Satz von Gödel-Herbrand-Skolem, der Satz von Herbrand,
Anwendung des Satzes von Herbrand; Skolemisierung -- kleines Einführungsbeispiel
Material:
Skript Seiten 212-233
Weitere Lektüre:
Kapitel VI.1-3 und X.1-4 in [EFT],
Kapitel 2.3,2.4 in [S]
Abschluss von Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens
- heute: Skolemisierung, Grundlagen von automatischen Theorembeweisern, inkl. Beispiel
Start mit Kapitel 5: Logik-Programmierung - heute:
Einführung ins Thema ("deklarativ" vs. "imperativ") und Anwendungsgebiete der
Logikprogrammierung;
Syntax und Semantik von Logikprogrammen: Fakten, Anfragen, Variablen, Regeln,
Atome, Zahlen, Konstanten, Terme,
Substitutionen, Anwendung von Substitutionen, Instanzen von Termen,
Grundterme und Grundinstanzen, Ableitungen aus Logikprogrammen,
Beweisbäume (vorerst am Beispiel eingeführt),
Material:
Skript 233-251
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.1-3.3 in [S],
Introduction und Chapter 1 (Basic Constructs) in [SS],
Kapitel 3.C in [KK],
Kapitel XI.7 in [EFT]
Ableitungen aus Logikprogrammen, Beweisbäume, deklarative Semantik von Logikprogrammen: formale Definition der Bedeutung eines Logik-Programms; viele Beispiele; ein Beispiel zum Unterschied zwischen Theorie und Praxis (Wege in gerichteten Graphen); Anfragen an Logikprogramme; operationelle Semantik; ANTWORT(Π,α) (ein einfacher Interpreter für Logikprogramme); Korrektheit und Vollständigkeit des Interpreters (ohne Beweis)
Material:
Skript 251-266 (bis inkl. Folie 409)
Weitere Lektüre:
Introduction und Teil I (also Chapter 1, 2, 3, 4 und 5) in [SS],
Kapitel 3.1-3.3 in [S],
Kapitel XI.7 in [EFT]
Abschluss von Kapitel 5: Logik-Programmierung - heute:
Unifikatoren; Beispiele zur Unifikation;
Äquivalenz und Allgemeinheit von Substitutionen; allgemeinste Unifikatoren
(engl.: mgu - für most general unifiers);
der Unifikationsalgorithmus MGU(t,s)
Beispiele zur Anwendung des Algorithmus MGU(t,s);
UANTWORT(Π,α) (ein Interpreter für Logikprogramme mit
allgemeinsten Unifikatoren); Korrektheit und Vollständigkeit des
Interpreters (ohne Beweis); Reines Prolog; ein Prolog-Interpreter
PErsteANTWORT(Π,α); linksrekursive Regeln; Beispiele zum
Unterschied zwischen Theorie und Praxis (d.h. Logik-Programmierung und Prolog);
abschließende Bemerkungen zum Unterschied zwischen Beweisbäumen und Suchbäumen und zur Unifikation in Prolog.
Beginn des Beweises von Satz 4.40: Unentscheidbarkeit des Allgemeingültigkeitsproblems für FO
Material:
Skript 270-278, 220-224
Weitere Lektüre:
Introduction und Teil I (also Chapter 1, 2, 3, 4 und 5) in [SS],
Kapitel 3.1-3.3 in [S],
Kapitel XI.7 in [EFT]
Abschluß des Beweises von Satz 4.40; Hilfestellungen zur Klausurvorbereitung. Inbes.: Details zum Ablauf der Klausur und Durcharbeiten einiger Beispiel-Aufgaben
Material: Eine Zusammenstellung wichtiger Informationen sowie die in der Vorlesungsstunde verwendeten Beispielaufgaben finden Sie hier.
weitere Hilfestellungen zur Klausurvorbereitung; Fragestunde
Material: Klausurhinweise inkl. Ablauf, Checkliste für den Tag, sowie Beispielaufgaben