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Logik in der Informatik
Prof. Dr. Nicole Schweikardt |
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Hier finden Sie (nach den Vorlesungen) Informationen zum Inhalt der einzelnen Vorlesungsstunden, die in der Vorlesung verwendeten Folien, Teile des Skripts und gelegentlich auch Korrekturen und sonstige ergänzende Bemerkungen.
Kapitel 1: Einführung ins Thema "Logik in der
Informatik" — Paradoxien, Syllogismen, Anwendungen der Logik in der
Informatik, Logik-Programmierung und Prolog.
Organisatorisches (entlang der Webseite der Vorlesung).
Material:
Folien 1-24,
Skript Seiten 1-18
Weitere Lektüre:
Kapitel 1 und 2.A in [KK],
Einleitung und Kapitel 1.1 in [S],
Vorwort und Kapitel 1.1, 1.5 und 2.1
in [B],
"Indroduction" der beiden Bücher [SS] und [BBS].
Eine Vorabversion des in der Vorlesung zitierten Artikel "On the unusual effectiveness of
logic in computer science" von Halpern, Harper, Immerman, Kolaitis, Vardi
und Vianu (Bulletin of Symbolic Logic 7(2):213-236 (2001)) finden
Sie hier.
Start mit Kapitel 2: Aussagenlogik — heute: Einführung und Beispiele, Syntax und Semantik der Aussagenlogik, rekursive Definitionen über Formeln, Modelle, das Koinzidenzlemma, Vereinbarungen und Notationen
Material:
Folien 25-50,
Skript Seiten 19-30,
Übungsblatt 1
Weitere Lektüre:
Kapitel 1 und 2.A in [KK],
Einleitung und Kapitel 1.1 in [S],
Kapitel 2.1 und 2.2 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: weitere Vereinbarungen und Notationen, Wahrheitstafeln, ein Logikrätsel, computerlesbare Darstellung von Formeln; Demo des Formelcheckers für die Aussagenlogik "snippets-of-logic"; Auflösung des Rätsels zur Geburtstagsfeier (Beispiel 2.1); Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit, die Folgerungsbeziehung
Material:
Folien 51-69,
Skript Seiten 31-40,
Formelchecker für die Aussagenlogik: snippets-of-logic
Weitere Lektüre:
Kapitel 1 und 2.A in [KK],
Kapitel 1.1 und 1.2 in [S],
Kapitel 2.2 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Modus Ponens; Zusammenhänge zwischen Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit und Folgerungsbeziehung; aussagenlogische Modellierung am Beispiel von Sudokus; aussagenlogische Modellierung am Beispiel der automatischen Hardwareverifikation
Material:
Folien 70-82,
Skript Seiten 40-48,
Übungsblatt 2
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A in [KK],
Kapitel 1.1 und 1.2 in [S],
Kapitel 2.4.1 und 2.5 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Abschluss des Beispiels zur aussagenlogischen Modellierung bei der automatischen Hardwareverifikation; Äquivalenz von Formeln und Formelmengen; fundamentale Äquivalenzen; Beweise per Induktion über den Aufbau von Formeln; der Dualitätssatz der Aussagenlogik
Material:
Folien 83-96,
Skript Seiten 48-57
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A in [KK],
Kapitel 1.2 und 1.4 in [S],
Kapitel 2.6 und 2.8 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: boolesche Funktionen und die funktionale Vollständigkeit der Aussagenlogik; Adäquatheit von Mengen von Junktoren und Konstanten; exklusives Oder, der Mehrheitsjunktor und der Sheffer-Strich (NAND-Gatter); Negationsnormalform (NNF) ein Beispiel zur Transformation in NNF; DNF und KNF
Material:
Folien 97-115,
Skript Seiten 57-68,
Übungsblatt 3
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A und 2.B in [KK],
Kapitel 1.4 und 1.5 in [S],
Kapitel 2.8 und 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Beispiele und Algorithmen zur Transformation in NNF, DNF und KNF; eine kleine Formel mit großer DNF; der Endlichkeitssatz
Material:
Folien 116-120,
Skript Seiten 68-73
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.A und 2.B in [KK],
Kapitel 1.4 und 1.5 in [S],
Kapitel 2.8 und 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Beispiel für eine Anwendung des Endlichkeitssatzes (um nachzuweisen, dass ein unendlicher Graph genau dann k-färbbar ist, wenn jeder endliche Subgraph k-färbbar ist); einführendes Beispiel zum Thema Resolution; Tseitin-Verfahren zur effizienten Umwandlung beliebiger Formeln in erfüllbarkeitsäquivalente KNF-Formeln; Repräsentation disjunktiver Klauseln durch endliche Mengen von Literalen; Repräsentation von KNF-Formeln durch endliche Klauselmengen; der Begriff einer Resolvente zweier Klauseln; das Resolutionslemma; Resolutionsableitungen und Resolutionswiderlegungen
Material:
Folien 121-133,
Skript Seiten 73-82,
Übungsblatt 4
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Wiederholung zum Thema Resolution; Korrektheit und Vollständigkeit der Resolution (d.h.: eine Klauselmenge besitzt genau dann eine Resolutionswiderlegung, wenn sie unerfüllbar ist)
Material:
Folien 128-134,
Skript Seiten 79-85
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Weiter mit Kapitel 2: Aussagenlogik - heute: Vorsicht beim Anwenden der Resolutionsregel; der Satz von Haken (ohne Beweis); Algorithmen zur Lösung des (NP-vollständigen) aussagenlogischen Erfüllbarkeitsproblems: der Wahrheitstafelalgorithmus, der Resolutionsalgorithmus, der DPLL-Algorithmus (inkl. Beispiel)
Material:
Folien 135-145,
Skript Seiten 85-93,
Übungsblatt 5
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.B in [KK],
Kapitel 1.5 in [S],
Kapitel 2.10 in [B].
Die SAT Competition ist ein
jährlich stattfindender internationaler Wettbewerb, bei dem effiziente
Implementierungen von Algorithmen zur Lösung des SAT-Problems
gegeneinander antreten. Mehr Details finden Sie auf der Webseite der
SAT Competition 2014.
Im Jahr 2014 fanden im Rahmen des Vienna Summer of Logic
auch die FLoC Olympic Games 2014
statt, in die die SAT Competition 2014 eingebettet war.
Ein sehr guter Überblick über den Stand der Forschung zum Thema
"SAT-Solver" findet sich beispielsweise in der
Dissertation Towards Next Generation Sequential and Parallel
SAT Solvers von
Dr. Norbert
Manthey (TU Dresden, 2014).
Abschluss von Kapitel 2: Aussagenlogik - heute:
Hornklauseln und Hornformeln; der Streichungsalgorithmus: ein
effizienter Erfüllbarkeitsalgorithmus für Hornformeln (Algorithmus,
Beispiel-Läufe, Laufzeitanalyse und Korrektheitsbeweis)
Start mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute:
Signaturen und Strukturen
Material:
Folien 146-158,
Skript Seiten 94-105
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.A und 3.B in [KK],
Kapitel 1.3 in [S],
Kapitel 2.11 in [B].
Kapitel I und Kapitel III.1 in [EFT].
Einen Überblick über die Rolle der Logik in der Informatik gibt der Artikel
"On the unusual effectiveness of
logic in computer science" von Halpern, Harper, Immerman, Kolaitis, Vardi
und Vianu (Bulletin of Symbolic Logic 7(2):213-236 (2001)), den
Sie hier
finden.
Einen Überblick über die Geschichte der logischen Grundlagen der
Mathematik gibt der Comic Logicomix.
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe -heute: Beispiele für Signaturen und Strukturen, Eigenschaftern 2-stelliger Relationen, Äquivalenzrelationen, Ordnungen, arithmetische Strukturen, Wörter als Strukturen, endliche Automaten als Strukturen (Transitionssysteme), relationale Datenbanken als Strukturen; Restriktionen und Expansionen; Isomorphie
Material:
Folien 159-177,
Skript Seiten 105-113
Übungsblatt 6
Weitere Lektüre:
Kapitel I und Kapitel III.1 in [EFT].
Einen Überblick über die Rolle der Logik in der Informatik gibt der Artikel
"On the unusual effectiveness of
logic in computer science" von Halpern, Harper, Immerman, Kolaitis, Vardi
und Vianu (Bulletin of Symbolic Logic 7(2):213-236 (2001)), den
Sie hier
finden.
Einen Überblick über die Geschichte der logischen Grundlagen der
Mathematik gibt der Comic Logicomix.
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Beispiele zur Isomorphie; Variablen und Terme der Logik erster Stufe, Belegungen, Interpretationen, Semantik von Termen; Vergleich zwischen Aussagenlogik und Logik erster Stufe; Syntax der Logik erster Stufe; Beispiele zur Semantik der Logik erster Stufe
Material:
Folien 176-201,
Skript Seiten
113-124
Weitere Lektüre:
Kapitel III.1 und Kapitel II.1-3 in [EFT].
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: formale Definition der Semantik der Logik erster Stufe; viele Beispiele; die Modellbeziehung; Subterme, Subformeln und Syntaxbäume; Formulierung des Isomorphielemmas der Logik erster Stufe (für Terme und Formeln); generelle Form von Beweisen per Induktion über den Aufbau von Termen, Beweis von Teil (a) des Isomorphielemmas (Aussage für Terme) und Beweis des Induktionsanfangs von Teil (b) des Isomorphielemmas (Aussage für Formeln)
Material:
Folien 202-220,
Skript Seiten 122-131,
Übungsblatt 7
Weitere Lektüre:
Kapitel II.1-3 und Kapitel III.2-3
in [EFT];
Chapter 5.1-5.7 in [B]
Kapitel 4.A in [KK];
Kapitel 2.1 und 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Abschluss des Beweises von Teil (b) des Isomorphielemmas (Induktionsschritt); das Koinzidenzlemma der Logik erster Stufe; freie Variablen; Sätze der Logik erster Stufe; Modellklassen und Definierbarkeit (bzw. Axiomatisierbarkeit) von Klassen von Strukturen; Beispiele für Formeln der Logik erster Stufe in verschiedenen Anwendungsbereichen: lineare Ordnungen, Arithmetik
Material:
Folien 220-234,
Skript Seiten 132-140
Weitere Lektüre:
Kapitel II.4-5 und Kapitel III.4-5
in [EFT];
Chapter 5.1-5.7 in [B]
Kapitel 4.A in [KK];
Kapitel 2.1 und 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: weitere Beispiele für Formeln der Logik erster Stufe in verschiedenen Anwendungsbereichen: Worte, Datenbanken; eine andere Sicht auf die Semantik der Logik erster Stufe; die von einer Formel in einer Struktur definierte n-stellige Relation; rekursive Beschreibung dieser Relation, die zu einem Algorithmus führt, der das Auswertungsproblem für FO löst; Äquivalenz von Formeln der Logik erster Stufe (heute noch ohne Beweis von Lemma 3.44)
Material:
Folien 235-256,
Skript Seiten 141-151,
Übungsblatt 8
Weitere Lektüre:
Kapitel II.5 und Kapitel III.4 und III.6
in [EFT],
Kapitel 1.1 in [L]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Beweis von Lemma 3.44; relationale Signaturen; Ehrenfeucht-Fraisse-Spiele: Spielregeln des m-Runden EF-Spiels, Gewinnbedingung, partielle Isomorphismen, Beispiele; Formalisierung des Begriffs "Gewinnstrategie"; Formulierung des Satzes von Ehrenfeucht (ohne Beweis); der Begriff der Quantorentiefe einer FO-Formel
Material:
Folien 254 und 257-268,
Skript Seiten 150 und 152-157
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.2 und 3.3 in [L],
Kapitel 4.3 in [FG]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Erklärung, wie Spoiler durch "Ausspielen einer Formel" eine Gewinnstrategie erhält; Beweis der einfachen Version des Satzes von Ehrenfeucht; Begriff der FO-Definierbarkeit einer Klasse von σ-Strukturen, Korollar über nicht-FO-definierbare Klassen von σ-Strukturen; das EF-Spiel auf 2 endlichen linearen Ordnungen
Material:
Folien 268-273,
Skript Seiten
157-164,
Übungsblatt 9
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.2 und 3.3 in [L]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Nachweis, dass Duplicator eine Gewinnstrategie im m-Runden EF-Spiel auf 2 endlichen linearen Ordnungen der Kardinalität > 2^m besitzt; Folgerung, dass die Klasse aller endlichen linearen Ordnungen gerader Kardinalität nicht FO-definierbar ist
Material:
Folien 273-278,
Skript Seiten
164-167
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.5 und 3.2 in [L]
Weiter mit Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute: Beweis des Resultats, das besagt, dass weder Graph-Zusammenhang noch Erreichbarkeit FO-definierbar sind; Bemerkung zur Methode der logischen Reduktionen; Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit und die Folgerungsbeziehung für Formeln der Logik erster Stufe; die Formeln "Verum" und "Falsum"; Normalformen für Formeln der Logik erster Stufe: Negationsnormalform und Pränex-Normalform
Material:
Folien 278-291,
Skript Seiten 167-175,
Übungsblatt 10
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.2 und 3.6 in
[L]
Abschluss von Kapitel 3: Logik erster Stufe - heute:
Abschluss des Beweises, dass es zu jeder FO-Formel eine äquivalente Formel
in Pränex-Normalform gibt
Start mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens
- heute:
Ableitungsregeln, Kalküle, Ableitungen, Beispiele für Kalküle
(zur Definition bestimmter Mengen natürlicher Zahlen, zur Definition der
syntaktisch korrekten aussagenlogischen Formeln, Resolutionskalkül der
Aussagenlogik);
Mengen, die unter einem Kalkül abgeschlossen sind;
Charakterisierung aller aus einer Menge V in einem Kalkül K ableitbaren
Elemente als die kleinste unter K abgeschlossene Menge, die
jedes Element aus V enthält; Induktionsprinzip für die Menge der
ableitbaren Elemente eines Kalküls
Material:
Folien 292-307,
Skript Seiten 175-185
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.6 in
[L],
Kapitel 2.2 in [S],
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Notationen für Logik erster Stufe, der Begriff einer "Sequenz", die Menge MS aller Sequenzen, Korrektheit von Sequenzen; Korrektheit, Vollständigkeit und Effektivität von Kalkülen über der Menge MS; der Begriff der Korrektheit von Sequenzenregeln; Einführung und Korrektheit der Grundregeln (V) und (E) und der aussagenlogischen Regeln ( (FU), (W), etc ); Substitutionen und das Substitutionslemma (ohne Beweis); Einführung und Korrektheit der Quantorenregel "Einführung des Allquantors im Antezdens"
Material:
Folien 308-321,
Skript Seiten 185-194,
Übungsblatt 11
Weitere Lektüre:
Kapitel IV.1-3, IV.6 und III.8 in [EFT],
Kapitel 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Einführung und Korrektheit der Quantorenregeln (Einführung des Allquantors im Antezdens, Einführung des Allquantors im Sukzedens, Einführung des Existenzquantors im Antezedens, Einführung des Existenzquantors im Sukzedens) und der Gleichheitsregeln (G) und (S); Einführung und Korrektheit des Sequenzenkalküls kS; Anmerkungen zur Effektivität des Sequenzenkalküls kS; Beispiele für Ableitungen im Sequenzenkalkül kS; ein mittels Ableitungen im Sequenzenkalkül kS definierter Begriff der Beweisbarkeit von Formeln aus Formelmengen; Widerspruchsfreie und widerspruchsvolle Formelmengen
Material:
Folien 321-329,
Skript
Seiten 193-200
Weitere Lektüre:
Kapitel IV.2-4, IV.6 und III.8 in [EFT],
Kapitel 2.2 in [S]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Eigenschaften widerspruchsvoller Formelmengen; der Vollständigkeitssatz und das Erfüllbarkeitslemma; Beweis des Vollständigkeitssatzes unter Verwendung des Erfüllbarkeitslemmas; der Endlichkeitssatz (inkl. Beweis unter Verwendung des Vollständigkeitssatzes); erststufige Axiomatisierbarkeit
Material:
Folien 330-337,
Skript Seiten 201-206,
Übungsblatt 12
Weitere Lektüre:
Kapitel IV.7, V und VI.2 in [EFT]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Beweis der Nicht-Axiomatisierbarkeit der Endlichkeit und der Nicht-Axiomatisierbarkeit von Graph-Zusammenhang; der Satz von Löwenheim und Skolem (ohne Beweis) inkl. Anwendung des Satzes; Einführung ins Thema "die Grenzen der Berechenbarkeit": Entscheidungsprobleme, Entscheidbarkeit, Semi-Entscheidbarkeit; Entscheidungsprobleme für die Logik erster Stufe
Material:
Folien 337-344,
Skript Seiten 206-212
Weitere Lektüre:
Kapitel VI.1-3 in [EFT]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: die Grenzen der Berechenbarkeit: die Semi-Entscheidbarkeit des Allgemeingültigkeitsproblems, des Unerfüllbarkeitsproblems und des Folgerungsproblems für die Logik erster Stufe; Nachweis der Unentscheidbarkeit des Allgemeingültigkeitsproblems für die Logik erster Stufe (durch Nutzen der Unentscheidbarkeit des Postschen Korrespondenzproblems)
Material:
Folien 345-352,
Skript Seiten 213-220,
Übungsblatt 13
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.3 in [S] und
Kapitel X.1-4 in [EFT]
Weiter mit Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Abschluss von Abschnitt 4.4 über die Grenzen der Berechenbarkeit: Nachweis der Unentscheidbarkeit des Unerfüllbarkeitsproblems und des Folgerungsproblems und der Nicht-Semi-Entscheidbarkeit des Erfüllbarkeitsproblems für die Logik erster Stufe; Abschnitt 4.5 über den Satz von Herbrand: Grundterme, Herbrandstrukturen, Herbrandmodelle, gleichheitsfreie Formeln in Skolemform, die (aussagenlogische Version der) Herbrand-Expansion eines gleichheitsfreien Satzes in Skolemform, der Satz von Gödel-Herbrand-Skolem, der Satz von Herbrand
Material:
Folien 353-363,
Skript 221-228,
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.4 in [S] und
Kapitel XI.1-3 in [EFT]
Abschluss von Kapitel 4: Grundlagen des automatischen Schließens - heute: Anwendung des Satzes von Herbrand, Skolemisierung, Grundlagen von automatischen Theorembeweisern, inkl. Beispiel
Material:
Folien 364-370,
Skript Seiten
229-234,
Weitere Lektüre:
Kapitel 2.4 in [S]
Start mit Kapitel 5: Logik-Programmierung - heute: Einführung ins Thema ("deklarativ" vs. "imperativ") und Anwendungsgebiete der Logikprogrammierung; Syntax und Semantik von Logikprogrammen: Fakten, Anfragen, Variablen, Regeln, Atome, Zahlen, Konstanten, Terme, Substitutionen, Anwendung von Substitutionen, Instanzen von Termen, Grundterme und Grundinstanzen, Ableitungen aus Logikprogrammen, Beweisbäume, deklarative Semantik von Logikprogrammen: formale Definition der Bedeutung eines Programms und der Antwort auf eine Anfrage; viele Beispiele; ein Beispiel zum Unterschied zwischen Theorie und Praxis (Wege in gerichteten Graphen); Anfragen an Logikprogramme
Material:
Folien 371-404,
Skript 235-253
Weitere Lektüre:
Kapitel 3.1-3.3 in [S],
Introduction und Chapter 1 (Basic Constructs) in [SS],
Kapitel 3.C in [KK],
Kapitel XI.7 in [EFT]
Weiter mit Kapitel 5: Logik-Programmierung - heute: operationelle Semantik; ANTWORT(Π,α) (ein einfacher Interpreter für Logikprogramme); Korrektheit und Vollständigkeit des Interpreters (ohne Beweis); Unifikatoren; Beispiele zur Unifikation; Äquivalenz und Allgemeinheit von Substitutionen; allgemeinste Unifikatoren (engl.: mgu - für most general unifiers)
Material:
Folien 405-417,
Skript 253-264
Weitere Lektüre:
Introduction und Teil I (also Chapter 1, 2, 3, 4 und 5) in [SS],
Kapitel 3.1-3.3 in [S],
Kapitel XI.7 in [EFT]
Abschluss von Kapitel 5: Logik-Programmierung - heute: der Unifikationsalgorithmus MGU(t,s); UANTWORT(Π,α) (ein Interpreter für Logikprogramme mit allgemeinsten Unifikatoren); Korrektheit und Vollständigkeit des Interpreters (ohne Beweis); Reines Prolog; ein Prolog-Interpreter PErsteANTWORT(Π,α); linksrekursive Regeln; Beispiele zum Unterschied zwischen Theorie und Praxis (d.h. Logik-Programmierung und Prolog)
Material:
Folien 417-433,
Skript 264-274
Weitere Lektüre:
Introduction und Teil I (also Chapter 1, 2, 3, 4 und 5) in [SS],
Kapitel 3.1-3.3 in [S],
Kapitel XI.7 in [EFT]
Hilfestellungen zur Klausurvorbereitung. Inbes.: Details zum Ablauf der Klausur und Durcharbeiten einiger Beispiel-Aufgaben
Material: Eine Zusammenstellung wichtiger Informationen sowie die in der Vorlesungsstunde verwendeten Beispielaufgaben finden Sie hier.