Voraussetzungen anwenden und logisches Schließen

Hier ist zu Semesterbeginn Dein intuitives Verständnis von Logik gefragt. Das Jonglieren mit den logischen Verbindungen und, oder, wenn, dann, nicht usw. wird erst im zweiten Kapitel der Vorlesung formal behandelt. Hier darfst Du also im Moment noch frei argumentieren. Welches Argument Du in welcher Reihenfolge benutzt, gehört nun zum kreativen Teil des Beweises. Hier können wir Dir nichts weiter bieten als viele, viele Übungsmöglichkeiten.

Beispiel

Wir setzen einfach den im vorigen Abschnitt begonnenen Beweis fort. Wir hatten

Voraussetzung: Seien M, N und L Mengen (3)
Für alle x gilt: wenn $x \in M$, so $x \in N$ (5')
Für alle y gilt: wenn $y \in N$, so $y \in L$ (6')
Sei z ein beliebiges Element. (8)
Sei $z \in M$. (9)
Behauptung: $z \in L$ (10)

Wenn man nur lange genug anstarrt, was jetzt gegeben und gesucht ist, wird sicher auf die Idee kommen, Voraussetzungen (5') und (9) miteinander zu kombinieren. Aus ,,$z \in M$`` und ,,Für alle x gilt: Wenn $x \in M$, so $x \in N$`` kann man die neue Aussage $z \in N$ gewinnen kann.

Unser immer noch unvollständiger Beweis lautet nun:

Voraussetzung: Seien M, N und L Mengen (3)
Für alle x gilt: wenn $x \in M$, so $x \in N$ (5')
Für alle y gilt: wenn $y \in N$, so $y \in L$ (6')
Sei z ein beliebiges Element. (8)
Sei $z \in M$. (9)

Beweis:
Es ist $z \in N$ (wegen Voraussetzungen (5') und (9)) (11)



Behauptung: $z \in L$ (10)

Das, was wir aus Voraussetzungen gewonnen haben (also (11)), können wir nun wie eine Voraussetzung selbst benutzen. Aussage (11) und Voraussetzung (6') lassen sich daher in genau derselben Weise kombinieren wie eben. Es entsteht

Voraussetzung: Seien M, N und L Mengen (3)
Für alle x gilt: wenn $x \in M$, so $x \in N$ (5')
Für alle y gilt: wenn $y \in N$, so $y \in L$ (6')
Sei z ein beliebiges Element. (8)
Sei $z \in M$. (9)

Beweis:
Es ist $z \in N$ (wegen Voraussetzungen (5') und (9)) (11)
Daraus folgt $z \in L$ (nach Voraussetzung (6'))
Behauptung: $z \in L$ (10)

Das ,,daraus folgt`` signalisiert dem Leser, daß neben der genannten Voraussetzung (6') auch die davorstehende Zeile (also (11)) benutzt wurde, um die neue Aussage abzuleiten. Da das Benutzen der vorigen Zeile der Normalfall ist, gibt es diese Sonderregelung.

Übrigens ist die neu abgeleitete Zeile gerade die Behauptung. Damit muß nun der Beweis lediglich noch ins Reine geschrieben werden:

Endgültiger supertoller Beweis

Aufgabe: Beweise: Die Mengeninklusion $\subseteq$ ist transitiv.

Lösung:
Nach Definition der Transitivität ist folgendes zu zeigen:
Seien M, N und L Mengen mit $M \subseteq N$ und $N \subseteq L$.Dann ist zu beweisen, daß auch $M \subseteq L$ ist. $M \subseteq L$ bedeutet, daß für jedes z gilt: Wenn $z \in M$,so ist $z \in L$.

Sei z ein beliebiges Element mit $z \in M$.Nach Voraussetzung $M \subseteq N$ gilt für jedes x: wenn $x \in M$,so ist $x \in N$. Daraus folgt $z \in N$.Nach Voraussetzung $N \subseteq L$ gilt für jedes y: wenn $y \in N$,so ist $y \in L$. Daraus folgt $z \in L$.
w.z.b.w.

Erkennst Du die Schritte wieder?