4 Definitionen anwenden

Normalerweise macht man Aussagen nicht einfach so, sondern Aussagen über einzelne oder mehrere Begriffe. Diese Begriffe haben einen Namen, und oft hast Du diesen Namen irgendwann und irgendwo in Deinem Leben schon mal gehört.

VERGISS ES!

Das einzige, was für einen Begriff wichtig ist, ist seine Definition. Eine Definition ordnet einem Begriff (meist einem Namen) eine Bestimmung zu, und nur die in der Definition gegebene Bestimmung zählt. Sonst nichts. Egal, wie weit die gegebene Definition von Deiner intuitiven Vorstellung abweicht. Wenn es mir beliebt, den Begriff S-Bahn als etwas mit vier Rädern unten und zwei Pferden vorn zu definieren, hast Du mir gefällgst abzukaufen, daß S-Bahnen ohne Strom fahren können und viel Hafer brauchen.

Daß Begriffsnamen natürlich trotzdem mit Bedacht gewählt sind, solltest Du Dir erst in einer späteren Phase des Verstehens überlegen und zunächst davon ausgehen, daß die Übereinstimmung von mathematischen Begriffen mit Begriffen des wirklichen Lebens reiner Zufall ist.

Wenn dem so ist, wie kann man denn dann mit solchen Begriffen umgehen?

Erstens: Man kann natürlich Aussagen über denselben Begriff (also den mit der gleichen Bestimmung), die man vorher schon bewiesen hat, als Argumente verwenden. Dies heben wir uns für später auf, weil wir häufiger in der Situation sind, erste Aussagen über einen Begriff zu beweisen. Dann bleibt als einzige Möglichkeit also

Zweitens: Man kann den Begriff gegen seine Bestimmung austauschen. Ist doch ganz klar: Wenn ein Begriff das und nur das bedeutet, was in seiner Bestimmung steht, dann darf sich doch die Aussage nicht ändern, wenn ich statt des Begriffs seine Bestimmung verwende und umgekehrt.

Diese Tatsache kannst Du nun verwenden, um zu Deiner Liste von Argumenten neue hinzuzufügen.

Hast Du eine Zeile der Form

bla bla bla BEGRIFF blub blub blub,

kannst Du in die nächste Zeile

bla bla bla BESTIMMUNG blub blub blub, (nach Def. von BEGRIFF)

schreiben. Ist die erste Zeile wahr, so ist es auch die zweite. Außerdem hast Du in Klammern ausreichend genau beschrieben, warum die zweite Aussage genauso wahr wie die erste ist.

Auf diese Weise kannst Du vor allem Voraussetzungen weiterverarbeiten, also den oberen Teil Deines Blattes weiter ausfüllen.

Für den unteren Teil mußt Du vielleicht etwas rückwärts denken. In den Behauptungen selber kommen ja normalerweise auch Begriffe vor. Um nun also eine Behauptung über einen Begriff zu beweisen, mußt Du (z.B. im davorliegenden Schritt) beweisen, daß die selbe Aussage für dessen Bestimmung gilt. Dann kannst Du im letzten Schritt die Behauptung beweisen, indem Du die Bestimmung gegen den Begriff eintauschst.

Siehst Du also im hinteren Teil Deines Beweisfragmentes eine Zeile

bla bla bla BEGRIFF blub blub blub,

so füge davor eine Zeile ein, so daß am Ende

bla bla bla BESTIMMUNG blub blub blub
bla bla bla BEGRIFF blub blub blub (nach Def. von BEGRIFF)

steht. Das Argument (nach Def. von BEGRIFF) schreibst Du in die zweite Zeile, damit zum Schluß ein von oben nach unten durchgehend lesbarer Beweis entsteht.

Beim Beweis einer Aussage muß Du normalerweise mehrfach Definitionen anwenden. Außerdem können Begriffsbestimmungen Formulierungen wie ,,wenn-dann`` oder ,,für alle`` enthalten, so daß Du nun erneut Voraussetzungen und Behauptungen extrahieren mußt. Dabei nicht den Überblick zu verlieren, erfordert einfach nur Training. Und dieses Training bekommst Du.

Beispiel

Beweise: Die Mengeninklusion $\subseteq$ ist transitiv!

Den Beweis findest Du auch im Skript. Hier kannst Du sehen, wie er entstanden ist.

Erster Schritt: Die Suche nach Schlüsselformulierungen verläuft ergebnislos. Daher bleibt nichts übrig, als die Gesamtaussage als Behauptung aufzustellen:

Voraussetzung: Keine
Behauptung: Die Mengeninklusion $\subseteq$ ist transitiv. (1)

Zweiter Schritt: Nun suche nach Begriffen, die eine Definition haben und versuche, sie durch ihre Bestimmung zu ersetzen. In Frage kommen die Begriffe Mengeninklusion und transitiv. Der Versuch, Mengeninklusion zu ersetzen, führt irgendwie ins Chaos. Das passiert bei Beweisen. Muß man durch. Muß man lieber versuchen, transitiv zu ersetzen. Die Definition besagt: Eine Relation R ist transitiv, falls für alle x,y,z gilt: Wenn z R y und y R z, so x R z.

Wenn man nun die Mengeninklusion als Relation erkennt, paßt die zu beweisende Aussage optimal auf die Definition. Also ersetzen wir die zu beweisende Aussage durch:

Behauptung: Für alle Mengen M, N und L gilt: Wenn $M \subseteq N$ und $N \subseteq L$,so $M \subseteq L$. (2)

Daß wir x, y und z durch M, N, und L ersetzet haben, liegt daran, daß es bestimmte Vorlieben bei der Namensgebung von Variablen gibt. Dazu gehört, Mengen mit Großbuchstaben aus der Alphabetmitte zu bezeichnen. Verletzung der Konventionen ändert nichts an der Korrektheit, erschwert aber oft das Lesen.

Aussage (2) enthält nun eine Fülle von Schlüsselwörtern, die wir nun der Reihe nach aufdröseln.

Zuerst das ,,Für alle``. Es entsteht

Voraussetzung: Seien M, N und L beliebige Mengen. (3)
Behauptung: Wenn $M \subseteq N$ und $N \subseteq L$,so $M \subseteq L$. (4)

Nun in der Behauptung (4) die wenn-dann-Verbindung. Ergibt:

Voraussetzung: Seien M, N und L beliebige Mengen. (3)
Sei $M \subseteq N$. (5)
Sei $N \subseteq L$ (6)
Behauptung: $M \subseteq L$ (7)

Keine der verbleibenden Einzelaussagen enthält Schlüsselwörter. Also versuchen wir es mit Definitionsanwendung. Diesmal gelingt es uns, die Definition der Inklusion anzuwenden. Und zwar gleich dreimal -- in den Aussagen (5), (6) und (7). Sie lautet: Für zwei Mengen M und N gilt $M \subseteq N$ genau dann, wenn für alle x gilt: wenn $x \in M$, so $x \in N$. Die Anwendung ergibt:

Voraussetzung: Seien M, N und L Mengen (3)
Für alle x gilt: wenn $x \in M$, so $x \in N$ (5')
Für alle y gilt: wenn $y \in N$, so $y \in L$ (6')
Behauptung: Für alle z gilt: wenn $z \in M$, so $z \in L$ (7')

Diesen Schritt könnte man vielleicht explizit notieren.

Erneut haben sich Schlüsselformulierungen in unsere Aussagen eingeschlichen. Wir beseitigen nun (vielleicht gleich in einem Schritt) das ,,Für alle`` und die wenn-dann-Verbindung in der Behauptung. Man erhält:

Voraussetzung: Seien M, N und L Mengen (3)
Für alle x gilt: wenn $x \in M$, so $x \in N$ (5')
Für alle y gilt: wenn $y \in N$, so $y \in L$ (6')
Sei z ein beliebiges Element. (8)
Sei $z \in M$. (9)
Behauptung: $z \in L$ (10)

Hattest Du am Anfang noch überhaupt keine Voraussetzung, kannst Du Dich inzwischen vor Voraussetzungen kaum noch retten. Und alles ist auf rein mechanische Weise entstanden, allein durch stupide Umformung der gegebenen Aussage. Das ist noch kein Beweis, das umgeformte Problem ist aber, wie Du im nächsten Kapitel sehen wirst, schon 1000 mal einfacher als das Ausgangsproblem.