2 Was ist Voraussetzung, was ist Behauptung?

Um dies festzustellen, mußt Du Dich in den mathematischen Jargon eingewöhnen. Dieser Jargon ist voll von Formulierungen mit genau festgelegter Bedeutung, die bei jedem ausgebildeten Mathematiker und Informatiker in genau der Weise verwendet und verstanden werden, wie Du es nun lernen sollst . Wenn Du diese Formulierungen in einer Aussage erkennst, kannst Du auf ganz mechanische Weise Voraussetzung und Behauptung extrahieren. Die folgende Liste gibt Dir die häufigsten und wichtigsten Formulierungen.

Wenn A, so (dann) B

Das ist einfach.

A wird zur Voraussetzung, B wird zur Behauptung.

Wenn Du den Grund wissen willst, dann lies jetzt weiter, ansonsten springe zur nächsten Formulierung.

Die Vorgehensweise liegt darin begründet, daß man in Mathematik und Informatik die Verbindung ,,wenn ..., dann ...`` in einer vom Alltagsgebrauch abweichenden Bedeutung verwendet. Und zwar wird der Wahrheitswert der Gesamtaussage nur von den Wahrheitswerten der Einzelaussagen (A, B) abhängig gemacht, egal, ob die beiden Aussagen inhaltlich irgendetwas miteinander zu tun haben. Der Wahrheitswert von ,,Wenn die S-Bahn in Berlin grün ist, dann heiße ich Otto`` bestimmt sich also nur aus der Farbe der S-Bahn und meinem Namen, egal, ob meine Namensgebung ursächlich mit der S-Bahn-Farbe zusammenhängt. In meinem konkreten Fall ist die Gesamtaussage wahr, wie wir uns gleich überlegen.

Wie bestimmt sich nun der Gesamtwahrheitswert? Zu diesem Zweck schauen wir uns eine aus der Schule bekannte Aussage an. Du wirst sicher zustimmen, daß für beliebige natürliche Zahlen a,b,c die Aussage ,,Wenn a=b, dann ist $a \cdot c = b \cdot c$`` stimmt. Also muß die Aussage auch stimmen, wenn a = 4, b = 4 und c = 3 ist. In diesem Fall ist die linke Teilaussage (4 = 4) wahr und die rechte Teilaussage (12 = 12) ebenfalls wahr. Deshalb soll eine wenn-dann-Verbindung immer wahr ergeben, wenn beide Teilaussagen wahr sind. Die allgemeine Aussage stimmt aber auch, wenn a = 2, b = 3 und c = 4 ist. Eine wenn-dann-Verbindung einer falschen (2 = 3) mit einer falschen Aussage (8 = 12) muß also auch wahr sein. Der kritische Einzelfall ist der, wo a=2, b=3 und c=0 ist. Die allgemeine Aussage muß also selbst dann wahr werden, wenn die linke Teilaussage ( 2 = 3) falsch, die rechte Aussage (0 = 0) aber wahr wird. In der verbleibenden Konstellation (linke Teilaussage wahr, rechte Teilaussage falsch) wird die wenn-dann-Verbindung falsch.

Du mußt sehr schnell lernen, den Wahrheitswert einer Gesamtaussage (Wenn A, so B) von der Wahrheitswerten der Teilaussagen (A, B) zu unterscheiden.

Um also zu zeigen, daß eine wenn-dann-Verbindung immer richtig ist, können wir zwei Fälle unterscheiden. Im ersten Fall ist die linke Teilaussage falsch. Da dann, wie eben erklärt, die wenn-dann-Verbindung immer richtig ist, egal, ob die rechte Teilaussage wahr oder falsch ist, braucht man zu diesem Fall nicht argumentieren. Im zweiten Fall ist die linke Teilaussage wahr. Dann muß aber auch die rechte Teilaussage wahr werden, um die Gesamtaussage wahr zu machen. Dies bedarf nun einer detaillierten Argumentation.

Das ist der Grund, warum man die linke Teilaussage als richtig voraussetzt (also nur diejenigen Situationen betrachten muß, wo sie tatsächlich wahr ist) und unter der Voraussetzung dann beweisen muß, daß die rechte Teilaussage (die Behauptung) auch richtig wird.

Man kann auch eine Fallunterscheidung für die rechte Teilaussage machen. Ist die nämlich wahr, so ist die Gesamtaussage wahr, egal, ob die linke Teilaussage wahr oder falsch ist; auf eine Argumentation kann verzichtet werden. Ist dagegen die rechte Teilaussage falsch, so muß man, um die Gültigkeit der Gesamtaussage zu beweisen, zeigen, daß dann auch die linke Teilaussage falsch wird. Man kann also zum Beweis der Aussage ,,Wenn A, so B`` alternativ zum obigen Ansatz auch so vorgehen:

Annahme: B ist falsch
Behauptung: Dann ist auch A falsch.

Dies ist das Prinzip des indirekten Beweises. Komischerweise neigen Beweisanfänger dazu, das indirekte Prinzip gegenüber dem direkten Beweisprinzip zu bevorzugen. Ich empfehle dagegen, in den allermeisten Fällen lieber einen direkten Beweis zu führen.

Es gibt zwei häufige Fehldeutungen einer wenn-dann-Aussage.

Die erste Fehldeutung verwechselt den Wahrheitswert der Gesamtaussage mit dem der rechten Teilaussage. Wird die rechte Teilaussage falsch, hält man irrtümlicherweise die Gesamtaussage für falsch. Eine falsche rechte Teilaussage kann aber eine wahre wenn-dann-Verbindung ergeben, solange nur die linke Teilaussage ebenfalls falsch ist (siehe unser Beispiel mit a=2, b=3 und c=4). Mit anderen Worten: Wenn ich aus einer falschen Voraussetzung (linke Teilaussage) eine falsche Schlußfolgerung (rechte Teilaussage) ziehe, ist dewegen der Schluß an sich (wenn-dann-Verbindung) noch lange nicht falsch.

Die zweite Fehldeutung verwechselt wenn-dann mit genau-dann-wenn. Einige Leute sehen zwar ein, daß aus etwas Wahren auch nur Wahres gefolgert werden darf, glauben aber, daß aus etwas Falschem auch unbedingt etwas Falsches gefolgert werden muß. Die Möglichkeit, daß ich unter falschen Voraussetzungen trotzdem zu einem richtigen Ergebnis kommen kann (siehe a=2, b=3, c = 0), bereitet Kopfschmerzen. Gerade diese Tatsache macht aber den ganzen Witz der wenn-dann-Verwendung aus: Wenn A richtig ist, so muß auch B richtig werden. Wenn dagegen A nicht richtig ist, dann treffe ich überhaupt keine Aussage über die Gültigkeit von B!

A genau dann, wenn B

Diese Formulierung ist nichts weiter als eine abgekürzte Form von ,,Wenn A, so B `` und ,,Wenn B, so A``. Damit kann man den Beweis in zwei Teilen führen.

Teil 1: Beweise ,,Wenn A, so B``.

Teil 2: Beweise ,,Wenn B, so A``.

Ich empfehle ungeübten Beweisern, diese beiden Teile auch getrennt darzulegen. Später, wenn man ein Gefühl für die Umkehrbarkeit von Argumenten entwickelt hat, kann man manchmal beide Teile gemeinsam in einer beidseitig schlüssigen Argumentation zusammenfassen.

Für alle x gilt A

Normalerweise macht in solchen Fällen A eine Aussage über x, weswegen wir lieber schreiben sollten: Für alle x gilt A(x).

Die Argumentation muß nun die Gültigkeit von A nachweisen, egal welchen konkreten Wert x bekommt. Deswegen setzt man an:

Voraussetzung: Sei x ein beliebig gewähltes Element. Behauptung: Für dieses Element gilt A(x).

Dabei dürfen die folgenden Argumente nun keinerlei Annahmen darüber benutzen, welchen der vielen möglichen Werte x hat. Sie dürfen aber von einer einmal für die gesamte Argumentation unveränderten Wahl ausgehen. Klingt wie spitzfindiger Juristenkram. Isses auch.

Ein häufiger Fehler im Umgang mit ,,Für alle`` ist zu beobachten, wenn danach mehrere Variablen stehen: ,,Für alle x, y und z gilt ...``. Hier wird irrtümlicherweise unterstellt, daß x, y und z jeweils immer verschiedene Werte haben. Dem ist nicht so! Eine Aussage ,,Für alle natürlichen Zahlen x, y und z erfaßt neben solchen Wertzuordnungen wie x=3, y = 0, z = 64189723 auch solche Wertbelegungen wie x =17, y = 17, z = 17 oder x = 3, y =1864537, z = 3!

Eine besonders häufige Abart der Für-alle-Aussage ist:

Für alle x aus der Menge M gilt A(x)

Hier empfehle ich ganz dringend, diese Formulierung zu ersetzen durch:

Für alle x gilt: Wenn $x \in M$, so gilt A(x). Damit kannst Du den Beweisansatz durch Hintereinanderanwendung bereits bekannter Techniken finden. Das mag Dir zunächst überflüssig vorkommen. Hauptsache, Du erinnerst Dich an meinen Rat, wenn Du mit Aussagen der Form ,,Für alle x aus der leeren Menge gilt A(x)`` konfrontiert wirst. Da führt eine nicht ganz verstandene abgekürzte Denkweise oft zu Irritationen. Für die leere Menge ergeben sich nämlich manchmal vollkommen schrille und überraschende Effekte. Mit einer zerlegten Aussage wirst Du in der Lage sein, diese komischen Aussagen zu akzeptieren.

Es gibt/existiert ein x, für das A(x) gilt

,,Es gibt ein`` ist immer zu lesen als: ,,Es gibt mindestens ein``. Anderenfalls steht: ,,Es gibt genau ein``. Bei letzterer Formulierung muß man neben der Existenz eines x auch zeigen, daß es keine weiteren gibt.

Der Beweis der einfachen Existenzaussage geht nun oft so:

Ich nenne einen (geeignet konstruierten) konkreten Wert x₀ für x. Behauptung: A gilt für x₀.

Spannend wird es, wenn das ,,es gibt ein y`` hinter einem ,,für alle x`` steht, also ,, Für alle x gibt es ein y mit ....``. Hier zahlt sich nun aus, daß wir bei der Für-alle-Aussage sauber ,,Sei x ein beliebiges Element`` geschrieben haben. Wenn ich nämlich nun ein konkretes y₀ konstruiere, kann ich x dabei verwenden, weil es sich um ein konkretes, wenn auch nicht näher festgelegtes Element handelt. Man darf also so etwas sagen wie: ,, Ich setze y = x - 3`` oder ,,Ich setze $y = \frac{\pi}{2x}$``. Ein paar Zeilen weiter findest Du ein Beispiel.

Es gibt ein x in der Menge M mit A(x)

kannst Du zerlegen in: Es gibt ein x, für das gilt: $x \in M$ und es gilt A(x).

Beispiel

Aufgabe: Beweise: Zu jeder gebrochenen Zahl x (verschieden von 0) gibt es eine gebrochene Zahl y mit $x \cdot y = 1$.

Erster Schritt: Auflösung des ,,Zu jeder gebrochenen Zahl x``.

Ergibt: Für jedes x gilt: Wenn x eine gebrochene Zahl (verschieden von 0) ist, so gibt es ein y mit $x \cdot y = 1$.

Zweiter Schritt: Auflösung des ,,Für jedes``.

Ergibt:
Vor: Sei x beliebig gewählt.
Beh: Wenn x eine gebrochene Zahl (verschieden von ) ist, so gibt es eine gebrochene Zahl y mit $x \cdot y = 1$.

Dritter Schritt: Auflösung des wenn-dann.

Ergibt:
Vor: x ist beliebig gewählt. x ist eine gebrochene Zahl. x ist verschieden von .
Beh: Es gibt eine gebrochene Zahl y mit $x \cdot y = 1$.

Vierter Schritt: Auflösung des ,,Es gibt ein``

Vor: x ist beliebig gewählt. x ist eine gebrochene Zahl. x ist verschieden von Null.
Ich setze: $y = \frac{1}{x}$ (Dieses Setzen gehört nicht zum mechanischen, sondern zum kreativen Anteil des Beweises!)
Beh: Für dieses y gilt: y ist eine gebrochene Zahl. Für dieses y gilt: $x \cdot y = 1$.

In den Beweis, daß y eine gebrochene Zahl ist, wird nun als Argument eingehen, daß x eine gebrochene Zahl verschieden von 0 ist.

Zum Beweis, daß $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ ist, beruft man sich auf die Gesetze der Multiplikation und Division gebrochener Zahlen.

In diesem Beispiel war ich superausführlich. In der Präsentation eigener Beweise darfst Du Schritte zusammenfassen. Für Deine eigene Klarheit solltest Du Dir selbst gegenüber aber Rechenschaft über die Elementarschritte ablegen. Das, was Du am Ende des Prozesses als Voraussetzung und Behauptung erhalten hast (im Beispiel nach Schritt 4), solltest Du aber immer aufschreiben. Dies sichert Dir erste Punkte in Übungsaufgaben, Klausur und Prüfung.

Im Verlauf des Semesters wirst Du zusätzliche Beweisansätze, zum Beispiel das Induktionsschema, kennenlernen. Versuche, die Anwendung dieser Schemata genauso mechanisch zu beschreiben, wie ich es oben getan habe!